31.2 Hasses Führer-Arbeit
Artin begründet die Publikation im Crelleschen Journal auch damit, dass dort
ja Hasses „eigene Führerarbeit“ erschienen sei. Er meint damit Hasses Arbeit
[Has30d] mit dem Titel „Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper
relativ-abelscher Zahlkörper“. Die Arbeit war soeben im Crelleschen Journal
erschienen. Offenbar kannte Artin die Einzelheiten dieser Arbeit noch nicht, denn
im nächsten Brief Nr.32 vom 10.10.1930 bittet er Hasse um ein Separatum. Aber
der vorliegende Brief zeigt, dass Artin über die Existenz der Hasseschen Arbeit
informiert war.
In der genannten Arbeit [Has30d] gibt Hasse u.a. einen Beweis der
Führer-Diskriminantenformel für die arithmetischen Führer, also für die Führer
der Klassenkörpertheorie. Er sagt dazu:
„Die
[Führer-Diskriminanten]formel ist eine tiefliegende Tatsache …Zu
ihrem Beweis war man bisher auf außerordentlich komplizierte
Hilfsmittel angewiesen, nämlich auf die Funktionalgleichung
der Heckeschen L-Reihen mit Größencharakteren. Ich gebe
im folgenden einen rein-arithmetischen Beweis …Er stützt sich
wesentlich auf die Ergebnisse der Normenresttheorie, die ich in
zwei vorangegangenen Arbeiten entwickelt habe.“
Hasse bezieht sich dabei auf die beiden Arbeiten [Has30e], [Has30c], die beide
in demselben Band 162 des Crelleschen Journals erschienen waren wie
[Has30d].
Für Artins Theorie der gruppentheoretischen Führer war die Hassesche Arbeit
von besonderer Bedeutung. Denn ein wesentlicher Teil der Beweise bei Artin
beruht auf der Führer-Diskriminantenformel der Klassenkörpertheorie. Und dafür
musste er ursprünglich den Beweis aus Hasses Klassenkörperbericht I [Has26a]
zitieren, der damals (1926) nur mit Hilfe der Funktionalgleichung für die
Heckeschen L-Reihen mit Größencharakteren geführt werden konnte. Nun aber
erfährt Artin durch die neue Arbeit von Hasse, dass es auch einen arithmetischen
Beweis gibt. Demgemäß hat er der endgültigen Fassung seines Manuskripts einen
Hinweis auf die Hassesche Arbeit eingefügt. Er sagt dazu in [Art31], nachdem er
auf den engen Zusammenhang zwischen Diskriminanten und Führern abelscher
Körper hingewiesen hat:
„Die Kenntnis der Relativdiskriminanten aller Zwischenkörper
zieht die Kenntnis der Führer dieser Körper nach sich, und
umgekehrt. Vermittelt wird dieser Zusammenhang durch die
Führer-Diskriminanten-Formel , deren Beweis entweder mit Hilfe
der Funktionalgleichung der L-Reihen geführt wird oder, wie Herr
Hasse kürzlich gezeigt hat, der Normenresttheorie entnommen
werden kann.“
In seinem Brief fragt Artin noch an, ob seine Formel für f(
,K|k) im abelschen Fall
bekannt sei. Es scheint so, dass Hasse diese Frage verneint hat, denn im Vorwort
zu seiner Arbeit [Art31] sagt Artin schließlich, dass seine Führerformel „eine neue
Ergänzung der Klassenkörpertheorie“ darstellt. Andererseits ist es nicht schwer, im
abelschen Falle bei einem irreduziblen, also eindimensionalen Charakter die
Artinsche Formel (44) mit der Hasseschen Formel (46) zu identifizieren. (Vgl.
dazu 32.1.1.) Hasse hätte also die Frage von Artin durchaus bejahen
können.