32 10.10.1930, Brief von Artin an Hasse

Hamburg-Fuhlsbüttel⁴²
Kleekamp 3 I

Lieber Herr Hasse!

Vielen Dank für Ihre ausserordentlich interessanten Mitteilungen.⁴³ Sie sind da wirklich einen grossen Schritt vorwärts gekommen. Ich bin jetzt leider mit der Ausarbeitung (allerdings nur im Kopf) der schwebenden Dinge⁴⁴ so in Anspruch genommen, dass ich das noch nicht vollständig verdauen konnte. Ausserdem komme ich hier nicht recht zum Arbeiten. In Hamburg will ich mich dann ausführlicher damit beschäftigen.

Sie fragen nach den Kongruenzen für die v_i.⁴⁵ Ich glaube nicht, dass diese Kongruenzen auch im allgemeinen galois’schen Fall stimmen, sondern dass sie aus anderen Sätzen folgen. Wenn Sie den Nenner im Exponenten von () betrachten, so handelt es sich bei der Ganzheit um eine Teilbarkeit durch e = e₀p^R₁. Die Teilbarkeit durch e₀ konnte ich durch einen einfachen Hilfssatz erledigen, der im abelschen Fall die Teilbarkeit der v_i durch e₀ nach sich zieht (dieser Hilfssatz hat mir allerdings zuerst die grössten Schwierigkeiten verursacht).⁴⁶

Der unangenehme Teil ist die Teilbarkeit durch p^R₁. Im abelschen Fall besagt diese genau Ihre Kongruenzen. Ich habe lange versucht diese Teilbarkeit direkt zu zeigen, bin aber viel zu ungeschickt um es auch nur im abelschen Fall zu können. Nun haben Sie das aber getan. Ich glaube, an der Hand Ihres Beweises würde mir vielleicht der direkte Nachweis gelingen. Nun habe ich aber kein Separatum Ihrer Führerarbeit. Auch in Hamburg habe ich keines. Darf ich Sie also herzlich bitten mir eines nach Hamburg zu senden, damit ich versuchen kann diese Teilbarkeitsfrage direkt zu entscheiden? Ich sehe schon, dass es mir ohne die neue Idee, die in Ihrer Arbeit stecken muss nicht glücken wird. Ausserdem werde ich die Arbeit wahrscheinlich auch wegen des Zitats benötigen.

Ich will Ihnen kurz zeigen, auf welchem Umweg ich die Teilbarkeit durch p^R₁ doch noch erzwungen habe. Es sei K der erste Verzweigungskörper. Man sieht sofort, dass der Exponent von in (,K/k) im „Wesentlichen“ derselbe ist, wie der von in (,K/K), wenn der Primteiler von in K ist. Also genügt es, im Körper K/K die Ganzheit des Exponenten zu zeigen. Damit ist man auf den Fall einer Gruppe von Primzahlpotenzordnung zurückgekommen. Da nun jede Darstellung einer solchen Gruppe eine monomiale ist, reduziert sich endlich der Nachweis auf den Abelschen Fall und damit bin ich am Ende.

Ich habe natürlich versucht diesen Umweg zu vermeiden. Wie ich schon sagte, gelang mir aber der Nachweis nicht einmal im Abelschen Fall. Daher möchte ich gerne den Beweis Ihrer Kongruenzen kennen lernen.

Welche Voraussetzungen aus der Klassenkörpertheorie muss ich nun machen? Für den formalen Teil keine. Für die Ganzheit des Exponenten entweder Ihre Kongruenzen, oder die Diskriminanten-Führerformel , aus der man sie rückwärts gewinnen kann. Für die Tatsache aber, dass im abelschen Fall () wirklich der Führer ist, die Diskriminanten-Führerformel also nach Belieben Ihren Beweis oder den Heckeschen.⁴⁷ Es kann aber sein, dass sich jetzt auch einige Vereinfachungen der Diskriminanten-Führerformel ergeben. Das kann ich aber erst nach Kenntnis Ihres Beweises sagen.

Ich schreibe das alles nicht so sehr ausführlich, da Sie ja doch bald mein Manuskript in Händen haben werden.

Ich will lieber noch einiges erzählen was hinzugekommen ist.

1.) Bei gegebenem Wert von (1) (dem Grad der Darstellung), gegebenem Grundkörper k und gegebenem Ideal aus k, hat die Gleichung () = nur „endlich viele“ Lösungen. D.h. es gibt nur endlich viele Oberkörper K, in denen () vorkommen kann (dabei K immer kleinstmöglich). Der Beweis ist noch sehr umständlich.⁴⁸

2.) Zur Theorie der L-Reihen. Bildet man L-Reihen mit rationalen Charakteren, d.h. Charakteren () deren Werte rational sind und die nicht einfach zu sein brauchen, so hat man in ihnen die „Bestandteile“ der Zetafunktionen. Sie lassen sich umgekehrt durch Zetafunktionen ausdrücken so dass zu ihrer Fortsetzbarkeit nicht das Rez[iprozitäts]ges[etz] herangezogen werden muss. Alles geht hier ohne Klassenkörpertheorie. Da nun die Anzahl der rationalen Charaktere gleich der Anzahl der Abteilungen in der Gruppe ist, hat man hier genau die für die Frobeniusdichtigkeiten erforderlichen Funktionen. Was die -Relationen betrifft, so erhält man das ziemlich abschliessende Ergebnis: Die Anzahl der unabhängigen unter den -Funktionen der Unterkörper ist gleich der Anzahl der Abteilungen der Gruppe.⁴⁹

3.) Ich erwähnte eben: Die Anzahl der rationalen Charaktere ist gleich der Anzahl der Abteilungen. Dieser Satz war mir nicht bekannt und ich glaube auch dass er neu ist.⁵⁰ Analog kann man z.B. genau den Charakterenkörper irgend einer Gruppe angeben:

Sei n die Ordnung der Gruppe. Man suche alle Restklassen i (mod n) mit der Eigenschaft, dass für alle aus gilt ~ ⁱ (wo ~ bedeutet zur gleichen Klasse konjugierter Elemente). Diese Restklassen i bilden eine Untergruppe g der Gruppe G aller Restklassen (mod n) , also der Gruppe des n-ten Kreiskörpers. Zu g gehört nun ein gewisser Unterkörper k des Kreiskörpers und dieser ist genau der Charakterenkörper.⁵¹

Kennen Sie diese und ähnliche Sätze? Ich glaube sie sind neu.

Die Umrechnung Ihrer Formel auf die _a-Basis ist in der Tat rein formal. Ich halte die Angelegenheit nicht für so wichtig um sie zu schreiben. Ich kann sie Ihnen ja später einmal mitteilen.

Wir fahren in den nächsten Tagen weg und kommen am 14.Oktober endgültig nach Hamburg.

Darf ich meine Bitte um ein Separatum nochmals erneuern und Sie darum ersuchen es nach Hamburg zu schicken?

Mit vielen Grüssen auch von meiner Frau und besten Empfehlungen an Ihre Frau Gemahlin.

      Herzlichst Ihr

      Artin

P.S. Ich vergass soeben das Wichtigste, nämlich Ihnen für Ihre halbe Zusage zur komplexen Multiplikation zu danken. Mir würde wirklich sehr viel daran liegen, das Buch in die Sammlung zu bekommen und wir können ja vorläufig die Sache noch vertagen und ihre weitere Entwicklung abwarten. Jedenfalls will ich Sie nicht mit einem Kontrakt plagen. Darf ich Sie nach den Bedingungen bei Springer fragen und auch danach, in welchen Punkten Sie gerne Günstigeres wünschen würden? Seien Sie überzeugt, dass ich alles daransetzen werde um Ihre Wünsche zu befriedigen.⁵²

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