Hamburg-Fuhlsbüttel42
Kleekamp 3
I
Lieber Herr Hasse!
Vielen Dank für Ihre ausserordentlich interessanten Mitteilungen.43 Sie sind da wirklich einen grossen Schritt vorwärts gekommen. Ich bin jetzt leider mit der Ausarbeitung (allerdings nur im Kopf) der schwebenden Dinge44 so in Anspruch genommen, dass ich das noch nicht vollständig verdauen konnte. Ausserdem komme ich hier nicht recht zum Arbeiten. In Hamburg will ich mich dann ausführlicher damit beschäftigen.
Sie fragen nach den Kongruenzen für die
vi.45
Ich glaube nicht, dass diese Kongruenzen auch im allgemeinen galois’schen Fall
stimmen, sondern dass sie aus anderen Sätzen folgen. Wenn Sie den Nenner im
Exponenten von (
) betrachten, so handelt es sich bei der Ganzheit um eine
Teilbarkeit durch e = e0pR1. Die Teilbarkeit durch e0 konnte ich durch einen
einfachen Hilfssatz erledigen, der im abelschen Fall die Teilbarkeit der vi durch e0
nach sich zieht (dieser Hilfssatz hat mir allerdings zuerst die grössten Schwierigkeiten
verursacht).46
Der unangenehme Teil ist die Teilbarkeit durch pR1. Im abelschen Fall besagt diese genau Ihre Kongruenzen. Ich habe lange versucht diese Teilbarkeit direkt zu zeigen, bin aber viel zu ungeschickt um es auch nur im abelschen Fall zu können. Nun haben Sie das aber getan. Ich glaube, an der Hand Ihres Beweises würde mir vielleicht der direkte Nachweis gelingen. Nun habe ich aber kein Separatum Ihrer Führerarbeit. Auch in Hamburg habe ich keines. Darf ich Sie also herzlich bitten mir eines nach Hamburg zu senden, damit ich versuchen kann diese Teilbarkeitsfrage direkt zu entscheiden? Ich sehe schon, dass es mir ohne die neue Idee, die in Ihrer Arbeit stecken muss nicht glücken wird. Ausserdem werde ich die Arbeit wahrscheinlich auch wegen des Zitats benötigen.
Ich will Ihnen kurz zeigen, auf welchem Umweg ich die Teilbarkeit durch pR1
doch noch erzwungen habe. Es sei K der erste Verzweigungskörper. Man sieht
sofort, dass der Exponent von
in
(
,K/k) im „Wesentlichen“ derselbe ist, wie
der von
in
(
,K/K
), wenn
der Primteiler von
in K
ist. Also genügt
es, im Körper K/K
die Ganzheit des Exponenten zu zeigen. Damit ist man auf
den Fall einer Gruppe von Primzahlpotenzordnung zurückgekommen. Da
nun jede Darstellung einer solchen Gruppe eine monomiale ist, reduziert
sich endlich der Nachweis auf den Abelschen Fall und damit bin ich am
Ende.
Ich habe natürlich versucht diesen Umweg zu vermeiden. Wie ich schon sagte, gelang mir aber der Nachweis nicht einmal im Abelschen Fall. Daher möchte ich gerne den Beweis Ihrer Kongruenzen kennen lernen.
Welche Voraussetzungen aus der Klassenkörpertheorie muss ich nun machen?
Für den formalen Teil keine. Für die Ganzheit des Exponenten entweder Ihre
Kongruenzen, oder die Diskriminanten-Führerformel , aus der man sie rückwärts
gewinnen kann. Für die Tatsache aber, dass im abelschen Fall (
) wirklich der Führer
ist, die Diskriminanten-Führerformel also nach Belieben Ihren Beweis oder den
Heckeschen.47
Es kann aber sein, dass sich jetzt auch einige Vereinfachungen der
Diskriminanten-Führerformel ergeben. Das kann ich aber erst nach Kenntnis Ihres
Beweises sagen.
Ich schreibe das alles nicht so sehr ausführlich, da Sie ja doch bald mein Manuskript in Händen haben werden.
Ich will lieber noch einiges erzählen was hinzugekommen ist.
1.) Bei gegebenem Wert von (1) (dem Grad der Darstellung), gegebenem
Grundkörper k und gegebenem Ideal
aus k, hat die Gleichung
(
) =
nur
„endlich viele“ Lösungen. D.h. es gibt nur endlich viele Oberkörper K, in denen
(
) vorkommen kann (dabei K immer kleinstmöglich). Der Beweis ist noch sehr
umständlich.48
2.) Zur Theorie der L-Reihen. Bildet man L-Reihen mit rationalen
Charakteren, d.h. Charakteren (
) deren Werte rational sind und die nicht
einfach zu sein brauchen, so hat man in ihnen die „Bestandteile“ der
Zetafunktionen. Sie lassen sich umgekehrt durch Zetafunktionen ausdrücken so
dass zu ihrer Fortsetzbarkeit nicht das Rez[iprozitäts]ges[etz] herangezogen
werden muss. Alles geht hier ohne Klassenkörpertheorie. Da nun die
Anzahl der rationalen Charaktere gleich der Anzahl der Abteilungen in
der Gruppe ist, hat man hier genau die für die Frobeniusdichtigkeiten
erforderlichen Funktionen. Was die
-Relationen betrifft, so erhält man das
ziemlich abschliessende Ergebnis: Die Anzahl der unabhängigen unter den
-Funktionen der Unterkörper ist gleich der Anzahl der Abteilungen der
Gruppe.49
3.) Ich erwähnte eben: Die Anzahl der rationalen Charaktere ist gleich der Anzahl der Abteilungen. Dieser Satz war mir nicht bekannt und ich glaube auch dass er neu ist.50 Analog kann man z.B. genau den Charakterenkörper irgend einer Gruppe angeben:
Sei n die Ordnung der Gruppe. Man suche alle Restklassen i (mod n) mit der
Eigenschaft, dass für alle aus
gilt
~
i (wo ~ bedeutet zur gleichen Klasse
konjugierter Elemente). Diese Restklassen i bilden eine Untergruppe g der Gruppe G
aller Restklassen (mod n) , also der Gruppe des n-ten Kreiskörpers. Zu g gehört
nun ein gewisser Unterkörper k des Kreiskörpers und dieser ist genau der
Charakterenkörper.51
Kennen Sie diese und ähnliche Sätze? Ich glaube sie sind neu.
Die Umrechnung Ihrer Formel auf die a-Basis ist in der Tat rein formal. Ich
halte die Angelegenheit nicht für so wichtig um sie zu schreiben. Ich kann sie
Ihnen ja später einmal mitteilen.
Wir fahren in den nächsten Tagen weg und kommen am 14.Oktober endgültig nach Hamburg.
Darf ich meine Bitte um ein Separatum nochmals erneuern und Sie darum ersuchen es nach Hamburg zu schicken?
Mit vielen Grüssen auch von meiner Frau und besten Empfehlungen an Ihre Frau Gemahlin.
Herzlichst Ihr
Artin
P.S. Ich vergass soeben das Wichtigste, nämlich Ihnen für Ihre halbe Zusage zur komplexen Multiplikation zu danken. Mir würde wirklich sehr viel daran liegen, das Buch in die Sammlung zu bekommen und wir können ja vorläufig die Sache noch vertagen und ihre weitere Entwicklung abwarten. Jedenfalls will ich Sie nicht mit einem Kontrakt plagen. Darf ich Sie nach den Bedingungen bei Springer fragen und auch danach, in welchen Punkten Sie gerne Günstigeres wünschen würden? Seien Sie überzeugt, dass ich alles daransetzen werde um Ihre Wünsche zu befriedigen.52
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