32.1 Hasses Mitteilungen

Wir wissen nicht genau, welche „außerordentlich interessanten“ Mitteilungen Hasse an Artin geschickt hatte. Nach Lage der Dinge dürfte es sich um einen Bericht über die wichtigsten Resultate aus Hasses kürzlich erschienener Führer-Arbeit [Has30d] gehandelt haben, die Artin im vorangegangenen Brief Nr.31 vom 23.9.1930 erwähnt hatte. Aber es war noch kein Sonderdruck, denn am Schluss seines Briefes bittet Artin um ein Separatum.

32.1.1 Die Kongruenzen

Artin erwähnt die „Kongruenzen für die v_i“. Um das verständlich zu machen, müssen wir auf den Inhalt der Arbeit [Has30d] eingehen, über deren Ergebnisse Hasse an Artin berichtet hatte. Hasse betrachtet eine abelsche Zahlkörper-Erweiterung K|k mit Galoisgruppe G und eine Primstelle  von k. Es geht um die Bestimmung des -Beitrags des zugehörigen Führers. Für i > 0 sei V _i die i-te Verzweigungsgruppe zu .⁵³ Es sei

die Reihe der verschiedenen Verzweigungsgruppen, wobei die v_i so bestimmt sind, dass jeweils V _vi V _vi+1. Die Indizes p^r_i = (V _{v i} : V _vi+1) sind p-Potenzen (i > 1). Demgemäss ist p^r₁+…+r_n die Ordnung der Verzweigungsgruppe. Die Verzweigungsordnung von K|k ist e = e₀p^r₁+…+r_n, wobei e₀ prim zu p ist, nämlich der Index der Verzweigungsgruppe in der Trägheitsgruppe. In dieser Situation beweist Hasse in [Has30d] die folgende Formel für den Führer-Exponenten f von K|k:

(46)

Und darüberhinaus zeigt er die Gültigkeit der folgenden Kongruenzen:

v1	0 mod e0	(47)
vi	vi-1 mod e0pr1++ri-1 (1 < i < n);

Offenbar sind es diese Kongruenzen, die Artin in seinem Brief anspricht. Wie es scheint, hatte Hasse ihm mitgeteilt, dass er diese Kongruenzen im abelschen Fall in [Has30d] bewiesen habe. Artin bestätigt in seinem Brief, dass im abelschen Fall diese Kongruenzen genau die Ganzzahligkeit seines Führerexponenten (44) besagen (siehe Seite 519). Beachte: Ist im abelschen Falle ein irreduzibler Charakter, so gehört zu eine zyklische Erweiterung K des Grundkörpers k. Artin will sagen, dass dann sein Führer () mit dem Führer (K|k) der Klassenkörpertheorie übereinstimmt. Das kann man leicht durch Vergleich der Formeln (44) und (46) erkennen.

Offenbar hatte Hasse die Frage aufgeworfen, ob die Kongruenzen (47) für beliebige galoissche Erweiterungen gelten. Wenn ja, dann würde sich daraus ohne weiteres auch im allgemeinen Falle ablesen lassen, dass der Artinsche Führerexponent (44) ganzzahlig ist. Wie wir nun dem Brief entnehmen, glaubt Artin nicht an die allgemeine Gültigkeit von (47). In der Tat beinhalten diese Kongruenzen die Gültigkeit des „Satzes von Hasse-Arf“, und heute wissen wir nach Fesenko [Fes95], dass der Satz von Hasse-Arf in gewissem Sinne auf abelsche Erweiterungen beschränkt ist.

Nun möchte Artin den Hasseschen Beweis der Kongruenzen (47) sehen, in der Hoffnung, dass darin ein neuer Gedanke stecke, den er vielleicht verallgemeinern kann, um damit direkt die Ganzzahligkeit von (44) zu beweisen. Er schreibt: „Ich glaube, an der Hand Ihres Beweises würde mir vielleicht der direkte Nachweis gelingen.“ Artin kennt also den Hasseschen Beweis noch nicht; deshalb bittet er um mehr Information. Er vermutet, dass ihm dies „ohne die neue Idee, die in Ihrer Arbeit stecken muss nicht glücken wird.“. Siehe hierzu auch Artins Ausführungen im nächsten Brief Nr.33 vom 7.11.1930.