26.2 Lokale Klassenkörpertheorie

Im selben Band 162 des Crelleschen Journals wie die soeben diskutierte Arbeit [Has30e] erschien [Has30c]. Dies ist Hasses erste Arbeit zur lokalen Klassenkörpertheorie. Hasse hatte entdeckt, dass die von ihm in der vorangegangenen Arbeit [Has30e] entwickelte Normenresttheorie als lokale Klassenkörpertheorie gedeutet werden kann, so wie wir sie heute kennen. Das in diesem Sinne gedeutete lokale „Reziprozitätsgesetz in der Artinschen -Formulierung“ liefert einen Isomorphismus () der lokalen Normfaktorgruppe auf die Galoisgruppe der lokalen Erweiterung K|k (die als abelsch vorausgesetzt wird).

Allerdings hatte diese erste Version der lokalen Klassenkörpertheorie noch einen Schönheitsfehler. Nämlich: das lokale Normsymbol () hatte Hasse in [Has30e] nur mit Hilfe des globalen Artinschen Reziprozitätsgesetzes definieren und behandeln können. Somit ist die lokale Klassenkörpertheorie zunächst nur ein Ausfluss der globalen Klassenkörpertheorie. Dabei benötigt man den Satz, dass jede -lokale abelsche Erweiterung als -adischer Abschluss einer globalen abelschen Erweiterung dargestellt werden kann. Diesen Satz kann Hasse in [Has30e] zunächst nicht beweisen, er wird jedoch in einer Arbeit von F.K.Schmidt, mit dem Hasse damals einen intensiven Briefverkehr pflegte, im selben Band des Crelleschen Journals erledigt [Sch30].

Hasse allerdings gibt sich mit dieser Situation nicht zufrieden. Er meint, man solle zunächst die lokale Klassenkörpertheorie ab ovo entwickeln und, darauf aufbauend, dann den Grenzübergang zur globalen Klassenkörpertheorie vollziehen. Er sagt dazu in [Has30c]:

Was die Glättung der ungehobelten Beweise betrifft, so hat Hasse sich immer wieder darüber Gedanken gemacht, auch in der Korrespondenz mit Artin. Vgl. dazu Artins Briefe Nr.12 vom 29.7.1927 und Nr.15 vom 19.8.1927.