11.1 Primäre und hyperprimäre Zahlen

Um die diesbezüglichen Fragen Artins zu verstehen, ist es notwendig, die bei Hasse und Artin verwendeten Bezeichnungen und die Terminologie zu kennen. k sei ein Zahlkörper, der die m-ten Einheitswurzeln enthält. bezeichnet eine in m aufgehende Primzahl, und ⁿ die genaue Potenz, mit der in m aufgeht. ist eine primitive -te Einheitswurzel und = 1 - der Primteiler von im Körper der -ten Einheitswurzeln. Artin fragt, welchen Exponenten t man benötigt, um aus einer Kongruenz 1 mod ^t schliessen zu können, dass primär für ist, d.h. dass teilerfremd ist zum Führer von k().⁷³ Und entsprechend, wenn „primär“ durch „hyperprimär“ ersetzt wird; das bedeutet, dass jeder Primteiler von im Kummerschen Körper k() vollzerlegt ist. (Artin bezeichnet die Primteiler von im Körper k mit dem Buchstaben _i.) Fragen dieser Art sind für explizite Reziprozitätsformeln von Bedeutung.

Möglicherweise hat Artin nur den Fall m = ⁿ und k = () im Auge. In jedem Falle ist aber seine Behauptung nicht richtig, dass man mit (1 - ) als Modul auskommt (also t = ). Das hat Artin offenbar ziemlich bald selbst bemerkt, wie aus seinem nächsten Brief Nr. 12 vom 29.7.1927 hervorgeht. Dort vermutet er, dass (1 -)ⁿ ausreicht. Im allgemeinen scheint wohl auch dies nicht richtig zu sein. Die genauen Exponenten wurden später von Hasse in Teil II seines Klassenkörperberichts [Has30a] angegeben; vgl. §9, Sätze X und XI jenes Berichts.

Vgl. auch den Brief Nr.14 vom 6.8.1927 und 14.2.