21.06.1933, Noether an Hasse

Inhalt:

Gutachten für Noether. Hyperkomplexe Deutung der Klassenkörpertheorie; Idealfaktorensysteme. Elementarer Beweis d. Hasseschen Existenzsatzes? Chevalleys These. Satz von Tsen.


Göttingen, 21. 6. 1933

Lieber Hasse! ¹⁾

Schönen Dank für Ihren Pfingstbrief ²⁾; Sie machen sich wirklich eine gründliche Arbeit mit den Gutachten! ³⁾ Und haben doch sonst schon Arbeit genug! Wichmann⁴⁾ hat dem Kurator noch gerade, als dieser Pfingsten nach Berlin fuhr, die Studentenunterschriften - es waren wesentlich die Algebraiker - gegeben⁵⁾, was diesem, wie er sagte, sehr recht war, obwohl natürlich im Augenblick schwer über §3 ⁶⁾ hinwegzukommen sei. Ihren Brief bekam er ja dann auch noch! Es scheint mir aber dennoch gut, falls bis zum Ende des Semesters schon genügend Gutachten eingelaufen sind, diese dann dem Kurator zu schicken, und verspätete (Takagi u.s.w.) dann später gesammelt nachzuschicken; wie es heißt soll vorher - im Semester - nicht entschieden werden.⁷⁾ Und dann scheint es mir auch richtig, die Gutachten vorher abschreiben zu lassen (aber das auf meine Kosten!), um eventuell später leichter darauf zurückkommen zu können, falls sie im Augenblick keinen Erfolg haben sollten. Die Fassung “Beauftragung mit Spezialvorlesungen jetzt oder später” scheint mir ja dann auch bei Einsendung der Gutachten die richtigste.⁸⁾ Und jetzt komme ich hoffentlich nicht wieder mit neuen Wünschen.

In der hyperkomplexen Deutung der Klassenkörpertheorie kann ich jetzt auch die Idealfaktorensysteme - also alle Klassen von A/H im zyklischen Fall - erfassen. Ich bilde den Modul O + uO... + u^n-1O mit uⁿO = aO; dieser läßt sich dann und nur dann in eine Algebra einbetten - d.h. daß die Rechenregeln des Moduls, insbesondere uⁿO = aO, durch die Rechenregeln von Z + uZ + ... + u^n-1Z mit uⁿ = induziert sind - , wo die Algebra noch an den Verzweigungsstellen von Z zerfallen soll, wenn a in H liegt. (Ist a = N(A) ^. , so ergibt v = uA den Modul O + vA + vAA^S + ..., der in vⁿ = liegt, und umgekehrt bekommt man so alle O-Moduln, derart daß v zu u assoziiert im verschränkten Produkt der Idealgruppe J mit G, also in der Erweiterung von J mit G).⁹⁾

Den von H verschiedenen Klassen entsprechen also “Integrale” (nicht einbettbare Moduln), deren “Differentiale” aber wieder Algebren werden. Denn sei p prim zu den Verzweigungsstellen von Z (was ja auch für u angenommen ist), so läßt sich O_p + uO_p + ... mit uⁿO_p = aO_p = aO_p mit a in k_p immer einbetten; wegen a prim zum Führer ergeben alle Elemente von a_p dieselbe Algebra. Man bekommt so also als “Differentiale” endlich viele Komponenten A_p1, ..., A_pr, deren Invariantensumme aber von Null verschieden ist. (Reziprozitätsgesetz¹⁰⁾, also für Z Kreiskörper elementar beweisbar).¹¹⁾ Umgekehrt läßt sich jedes Differentialsystem durch geeignete Kreiskörper K so erzeugen. (Existenzsatz (0.3), Ann. 107).¹²⁾ Das Reziprozitätsgesetz sagt also nur aus, daß ein “echtes” “Integral” über Z auch über einem erzeugenden Kreiskörper echt bleibt; d.h. daß das zugehörige Differentialsystem durch ein Kreiskörper-Integral, nicht durch eine Algebra erzeugt wird. Vielleicht läßt sich das mit der Durchkreuzungsmethode direkt beweisen! Und damit alles ohne Normensatz.¹³⁾ Ich habe es noch nicht überlegt, kann auch für die Richtigkeit dieser Skizze noch nicht absolut einstehen!

In diesem Zusammenhang interessiert mich aber, ob sich Ihr Existenzsatz (0.3) im allgemeinen etwa auch elementar beweisen läßt, so wie Sie es für = 1 in der Ausarbeitung gemacht haben.¹⁴⁾ Und weiter hätte ich sehr gern Korrektur oder Durchschlag der These von Chevalley, falls so etwas existiert; denn ich habe den Eindruck, daß die obige Skizze nur eine andere Einkleidung seiner Überlegungen bedeutet.¹⁵⁾

War Ihnen bekannt, daß über algebr[aischen] Funktionenkörpern einer Variablen (vielleicht auch von n Variablen) mit algebr[aisch]-abgeschlossenen, also insbes[ondere] komplexen Koeffizienten, keine Divisionsalgebren existieren; der Satz von den zerfallenden Algebren also in trivialer Weise gilt? Tsen, der Chinese, hat es jetzt nach meinen Angaben bewiesen.¹⁶⁾ Man zeigt einfach durch Koeffizientenvergleich und Abzählen der Gleichungen, daß jedes Element des Grundkörpers Norm wird; dann macht man unsern Übergang vom Zyklischen zum Allgemeinen.¹⁷⁾

Herzliche Grüße, Ihre Emmy Noether
                  

¹Beachte die veränderte Anrede gegenüber den früheren und späteren Briefen, wo es stets heißt: “Lieber Herr Hasse”. Nach den damaligen Gepflogenheiten bedeutete die Weglassung des formellen “Herr” einen besonderen Beweis der freundschaftlichen Verbundenheit - hier offenbar angesichts des “Pfingstbriefes”.

²Im Jahr 1933 fiel Pfingsten auf den 4. Juni. - Zwischen dem vorangegangenen Brief vom 10. Mai 1933 und diesem Brief gab es noch eine Postkarte von Emmy Noether an Hasse, die jedoch nicht erhalten ist. Wir schließen das aus einem Brief von Hasse an Davenport vom 18. 5. 1933. Davenport hielt sich damals in Göttingen auf, und Hasse schrieb ihm: “Please say E.Noether thanks for the delightful postcard.”

³Hasse war dabei, Gutachten namhafter Kollegen (auch aus dem Ausland) über die wissenschaftliche Bedeutung Emmy Noethers einzuholen; diese wollte er dem Ministerium vorlegen, um zu erreichen, dass Noether in Göttingen weiterhin arbeiten durfte.

⁴Wolfgang Wichmann war ein Doktorand Noethers. Er legte seine Doktorprüfung 1934 ab. Seine Dissertation Wic:1936 mit dem Titel “Anwendungen der p-adischen Theorie im Nichtkommutativen” war noch von Emmy Noether angeregt worden. Der wesentliche Inhalt seiner Arbeit war eine vereinfachte Herleitung der Funktionalgleichung der -Funktion einer zentralen einfachen Algebra, die bis auf ein offen bleibendes Vorzeichen mit der von Käte Hey gefundenen Funktionalgleichung übereinstimmt Hey:1929 , Zor:1933 . Formal zeichnete F. K. Schmidt als Referent seiner Dissertation. - Wichmann wurde übrigens in der Arbeit von Tsen Tse:1933 erwähnt, die als Voranzeige seiner Dissertation erschien. Tsen hatte Funktionenkörper einer Variablen über algebraisch abgeschlossenem Körper untersucht und gezeigt, dass es über einem solchen Körper keine nichttrivialen Divisionsalgebren gibt. Wie Tsen berichtet, hatte ihn Wichmann dann darauf hingewiesen, dass als Folge davon, über einem reell abgeschlossenen Körper jede Divisionsalgebra den Index 2 besitzt, also eine (verallgemeinerte) Quaternionenalgebra ist. Vgl. Brief ^* vom 21. 7. 1933.

⁵Zwölf Doktoranden oder ehemalige Schüler Emmy Noethers hatten eine Petition zu Noethers Gunsten eingereicht. Diese Information entnehmen wir dem Artikel Scha:1987 .

⁶§3 war der Arierparagraph des neuen Gesetzes.

⁷Bei Schappacher Scha:1987 wird berichtet, dass Hasse schliesslich 14 Gutachten von führenden Mathematikern vorlegen konnte. - Hermann Weyl in seiner Trauerrede auf Emmy Noether in Bryn Mawr am 26.4.1935 berichtete: “I suppose there could hardly have been in any other case such a pile of enthusiastic testimonials filed with the Ministerium as was sent in on her behalf. At that time we really fought; there was still hope left that the worst could be warded off. It was in vain.” Wey:1935 .

⁸Hasse hatte offenbar in seinem Brief an den Kurator der Universität Göttingen vorgeschlagen, man möge Noether mit Spezialvorlesungen vor einem engeren Schülerkreis beauftragen - was im übrigen ihrer bisherigen Tätigkeit durchaus entsprach.

⁹Offenbar nimmt Noether an, dass Hasse bereits weiß, worum es geht, und dass er auch mit den Bezeichnungen vertraut ist, die sie nicht weiter erklärt. Noether betrachtet die folgende Situation: Gegeben sei ein Zahlkörper K (der bei Noether nicht explizit erwähnt ist) und eine zyklische Erweiterung Z|K. Die Galoisgruppe wird mit G bezeichnet, und S ist eine fest gewählten Erzeugende von G. Wenn Noether von der Gruppe A/H spricht, dann benutzt sie die Bezeichnungen in der Ausarbeitung Has:1933a der Hasseschen Marburger Vorlesungen. Demnach ist A die Gruppe der zum Führer f von Z|K teilerfremden Divisoren von K, und H ist diejenige Untergruppe von A, die zu Z im Sinne der Klassenkörpertheorie gehört. Also besteht H aus den Divisoren der Form N(A) wobei N(A) die Norm eines zu f teilerfremden Divisors A von Z ist, und K^× Normenrest modulo f ist. Die letztere Bedingung drückt Noether dadurch aus, dass “die Algebra” an den Verzweigungsstellen von Z zerfallen soll, gemeint ist das durch definierte verschränkte Produkt (Z|K,S,). Nach evtl. Abänderung von durch Normen kann angenommen werden, dass 1 mod f.

Noether bezeichnet mit J die Gruppe der zu f teilerfremden Divisoren von Z, sodass also A die Fixgruppe von J unter der Galoisgruppe G ist. Weil G zyklisch ist, kann die Normfaktorgruppe A/N(J) aufgefasst werden als die Kohomologiegruppe H²(G, J) (nach Festlegung der Erzeugenden S von G). Demgemäß definiert jedes a A eine Gruppenerweiterung von J mit G. Noether spricht auch von einem “verschränkten Produkt” von J mit G.

Wir hatten einige Schwierigkeiten, die von Noether als “Moduln” bezeichneten Bildungen O + uO + + u^n-1O mit uⁿ = aO zu interpretieren. Nach den sonstigen Gepflogenheiten von Noether wäre O als die Hauptordnung des Körpers Z zu interpretieren, was jedoch hier keinen Sinn ergibt. Wahrscheinlicher ist es, dass hier O den Bereich der Ideale der Hauptordnung bezeichnet; für Ideale sind Multiplikation und Addition definiert, sowie Anwendung des Automorphismus S. Die Bedeutung dieses “Moduls” spielt jedoch bei den weiteren Noetherschen Überlegungen keine Rolle; die “Moduln” stehen in bijektiver Beziehung zu den Kohomologieklassen in H²(G, J), also zu den Elementen a A modulo der Normgruppe N(J). Bei Noether handelt es sich (aus heutiger Sicht) um rein kohomologische Betrachtungen.

Eine Kohomologieklasse (Modul) wird von Noether “einbettbar” genannt, wenn sie von einer Algebra induziert wird, also von einer Kohomologieklasse aus H²(G,Z^×), d.h. von einem Element K^× (modulo Normen). Die Algebra soll aber, wie Noether sagt, an den verzweigten Stellen zerfallen; das bedeutet 1 mod f. Somit besteht H genau aus den “einbettbaren” Kohomologieklassen (Moduln).

¹⁰[Diese Fußnote stammt von Emmy Noether:] Hier benutze ich, daß wenn () = S, zugleich -/n die Invariantensumme des Differentialsystems.

¹¹Die Noetherschen “Differentiale” werden also durch Lokalisierung definiert. Für eine Primstelle p bezeichnen wir mit Z_p|K_p die zugehörige lokale Erweiterung; sie ist zyklisch und ihre Galoisgruppe G_p is die Zerlegungsgruppe für p. Noether benutzt nun die Isomorphie

Vermöge dieser Isomorphie entspricht nun jedem Faktorensystem aus H²(G, J), also jedem a A (modulo Normen) ein System von Algebren A_p H²(G_p,L_p^×). Dies sind die “Differentiale” von Noether. Davon sind nur endlich viele nichttrivial; diese werden von Noether mit A_p1,...,A_pr bezeichnet. Noether bildet die Summe ihrer Invarianten; sie gibt dafür jedoch keine Bezeichnung an. Wir wollen sie j(a) nennen, also j(a) _{p f} j_p(A_p) mod 1.

Noether stellt fest, dass j(a) 0 mod 1 für a H (also für “einbettbare Moduln”), aber j(a) / 0 mod 1 für aH, und sie verweist dafür auf das Reziprozitätsgesetz. In der Tat, wenn man das Reziprozitätsgesetz, wie Hasse es getan hat, als Summenformel für die Invarianten einer einfachen zentralen Algebra über K formuliert, so ergibt das, angewandt auf die Algebra (Z|K,S,) sofort j() 0 mod 1. Umgekehrt: wenn j(a) 0 mod 1, so gibt es nach Hasse eine einfache zentrale Algebra über K mit denselben Invarianten j_p(A_p), und da diese Algebra durch Z zerfällt wird (nach dem Lokal-Global Prinzip) so entspricht sie einem Faktorensystem in H²(G,Z^×), also einem K^× (modulo Normen), welches noch an den verzweigten Stellen Normenrest ist.

¹²Noether bezieht sich auf die Hassesche Arbeit in den Mathematischen Annalen Has:1933 , also die “Geburtstagsarbeit” für Emmy Noether.

¹³Hier haben wir die Begründung, weshalb Noether diese ganze Sache aufrollt. Sie möchte die Klassenkörpertheorie rein algebraisch entwickeln, also ohne den Furtwänglerschen Normensatz, der ja auf analytischen Betrachtungen fußt. Ohne diese Zielsetzung wären diese ganzen kohomologischen Rechnungen nicht sehr interessant, insbesondere weil sie auch schon in den Artin-Briefen vorkommen (und zwar ohne Beschränkung auf zyklische Erweiterungen), die Noether ja gekannt hat. Vgl. Brief ^* vom 5. 4. 1932.

¹⁴Es handelt sich um einen Existenzsatz über Kongruenzklasseneinteilungen der rationalen Zahlen mit vorgegebenen Eigenschaften. Ein solcher Existenzsatz wurde schon von Artin (1927) bei seinem Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes formuliert und bewiesen. Eine Verallgemeinerung davon hatte Hasse als Satz (0.3) in Has:1933 formuliert. Die Beweise waren jedoch nicht elementar, denn sie beruhten auf dem Frobeniusschen Dichtigkeitssatz. Einen elementaren Beweis für den Artinschen Spezialfall lieferte Hasse in der Ausarbeitung seiner Marburger Vorlesungen Has:1933a , auf die sich Noether hier bezieht; dort handelt es sich um den Satz (139). Dabei ist “elementar” hier und im folgenden so zu verstehen, dass keine Sätze aus der algebraischen Zahlentheorie benutzt werden, und auch nicht der Dirichletsche Satz von der Existenz von Primzahlen in arithmetischen Progressionen. Auch Chevalley gab in seiner Thèse einen in diesem Sinne elementaren Beweis. Noether fragt nun, ob sich auch der allgemeine von Hasse formulierte Satz (0.3) elementar beweisen lässt. Das ist in der Tat der Fall. Ein Beweis wurde von van der Waerden gegeben; allerdings wohl erst nach dem Datum dieses Briefes. Es gibt einen Brief von Hasse an Davenport vom 15. 10. 1933, in dem Hasse an das Problem dieses Existenzsatzes erinnert und wo es heißt: “It may interest you that v.d.Waerden found a very simple elementary proof.” Wie es scheint, hatte Noether die Frage nicht nur an Hasse, sondern auch an van der Waerden gestellt, und der letztere hat dann die Lösung gefunden. Der van der Waerdensche Beweis erschien 1934 im Crelleschen Journal vdW:1934 .

In den Anwendungen wurde dieser Existenzsatz dazu benutzt, um die Grundeigenschaften der Klassenkörpertheorie, die sich für zyklotomische Erweiterungen ziemlich einfach beweisen lassen, vermöge der sogenannten Durchkreuzungsmethode (die von Tschebotareff stammt) auf beliebige abelsche Erweiterungen zu übertragen.

¹⁵Die Chevalleysche Thèse wurde im Journ. Fac. Sci. Tokyo Che:1933a publiziert; vielleicht war der betr. Band zum Zeitpunkt dieses Briefes noch nicht erschienen. Es kursierten jedoch hektographierte Ausarbeitungen dieser Thèse; es ist anzunehmen, dass Hasse ein Exemplar besaß.

¹⁶Es handelt sich um Tsen’s Doktorarbeit Tse:1934 . Die Arbeit wurde niemals in einer mathematischen Zeitschrift publiziert, jedoch erschien eine vorläufige Fassung Tse:1933 in den Göttinger Nachrichten. Die Doktorprüfung von Tsen fand erst im Jahre 1934 statt, als Noether bereits in USA war. Als Referent für die Dissertation fungierte offiziell F. K. Schmidt, der als Vertretung von Hermann Weyl in Göttingen damit beauftragt war, alle laufenden Prüfungsarbeiten, die von den in Göttingen entlassenen Hochschullehrern der Mathematik nicht mehr betreut werden konnten, zu übernehmen. - Übrigens gilt der Satz von Tsen nicht für Funktionenkörper mehrerer Variablen, wie es Noether hier als “vielleicht” angibt. Vgl. die folgende Postkarte ^* vom 27. 6. 1933. Siehe auch den Brief ^* vom 21. 7. 1933. - Zu Tsen siehe auch Lor:1999 .

¹⁷Wenn Noether von “unserem Übergang” vom Zyklischen zum Allgemeinen spricht, dann bezieht sie sich auf die Schlussweise, die von Hasse, Chevalley und auch von ihr selbst entwickelt wurde, und die in früheren Briefen zur Sprache kam, vgl. Brief ^* vom 3. 6. 1932. Dort ging es darum, den “Umkehrsatz” der lokalen Klassenkörpertheorie zu übertragen von zyklischen Körpern auf den Fall beliebiger abelscher Körper. Hier geht es nun darum, den Satz von Tsen in entsprechender Weise zu übertragen.