Die Formel (14) der gemeinsamen Arbeit von Artin und Hasse betrifft den
zweiten Ergänzungssatz und liefert eine Verschärfung von (12), weil sie für
alle
1 mod
gültig ist. Eine entsprechende Verschärfung für das
Allgemeine Reziprozitätsgesetz (10) wurde zur selben Zeit von Hasse
allein entwickelt. Artin scheint davon zu wissen, denn er erwähnt im Brief
Nr.4:
In Band 154 des Crelleschen Journals, unmittelbar vor der gemeinsamen Arbeit mit
Artin, erschien nun die Arbeit [Has25d] von Hasse mit der folgenden Formel
(16) für den Umkehrfaktor. Die Formel sieht ziemlich kompliziert aus;
bemerkenswert ist die Tatsache, dass darin die -adischen Logarithmen
vorkommen, so wie es schließlich auch in der Artin–Hasse Formel (14) der Fall
ist.
Die Situation in (16) ist dieselbe wie in (14) und (15) und braucht daher nicht
mehr erläutert zu werden. Die Formel gilt für alle ,
1 mod
.
![]() | (16) |
wobei:
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Die Formel gilt nicht nur im Einheitswurzelkörper (
) sondern genauso
auch in jedem Oberkörper k
(
), und S bedeutet die Spur von k
nach
.
Hasse hat die Formel (16) schon in Marburg im September 1923 vorgetragen.
Jedoch ist er dabei nicht stehengeblieben. Denn entsprechend wie im Falle
des zweiten Ergänzungssatzes gilt auch hier, dass im Falle eines echten
Oberkörpers k von (
) die Formel (16) noch nicht die feinstmögliche
Formulierung ist, weil sich
in k zerlegen kann. Dazu publizierte Hasse noch eine
weitere Arbeit [Has25e], in der er diese Zerlegung berücksichtigt, doch er
kann das nur wenn
in k unverzweigt ist – so wie es auch im Falle des
zweiten Ergänzungssatzes der Fall war. Die Arbeit erschien ebenfalls in
Band 154 des Crelleschen Journals [Has25a], so wie die oben zitierten
Arbeiten Hasses zum Reziprozitätsgesetz und auch die gemeinsame Arbeit
Artin–Hasse.
Über dieses neue Ergebnis trug Hasse dann am 25.September 1924 auf der DMV-Jahrestagung in Innsbruck vor.