32.2 Der Umweg

Mit seiner eigenen Methode zum Beweis der Ganzzahligkeit von (44) ist Artin offenbar nicht zufrieden, er betrachtet diese als einen Umweg. Er schildert in Kürze diesen Umweg: Zuerst die Zurückführung auf die Verzweigungsgruppe, also eine p-Gruppe. Sodann vermöge des gruppentheoretischen Induktionsprozesses für Charaktere die Zurückführung auf den abelschen Fall, unter Anwendung des Satzes von Blichfeldt [Bli04], dass jede irreduzible⁵⁴ Darstellung einer p-Gruppe sich durch den gruppentheoretischen Induktionsprozess aus einer abelschen Darstellung einer Untergruppe ergibt.⁵⁵ Im abelschen Fall, so schreibt Artin, ist er „am Ende“. Damit meint er wahrscheinlich, dass er ohne Klassenkörpertheorie nicht weiter kommt. Dies wird deutlich in seinem nächsten Brief, wo er sagt, dass ihm die angestrebte Vereinfachung nicht geglückt sei. Er habe nämlich vermutet, dass Hasse bei dem Beweis seiner Kongruenzen (47) ohne Klassenkörpertheorie auskomme, also lediglich gruppentheoretisch ähnlich „wie Speiser“ arbeite.⁵⁶ Das sei aber nicht der Fall.

Der „Umweg“, den Artin machen muss aber eigentlich vermeiden möchte, besteht also darin, dass er die Klassenkörpertheorie zum Beweis der Grundeigenschaften seiner Führer () benutzt. Hauptsächlich geht es dabei um die Ganzzahligkeit der Exponenten (44), also die Tatsache, dass () ein Ideal des Grundkörpers ist. Er vermutet, dass diese Tatsache unabhängig von der Klassenkörpertheorie ist, also für jede (lokale) galoissche Erweiterung gilt.

Dies wurde einige Jahre später durch den Hasse-Schüler Cahit Arf in seiner Dissertation [Arf39] bestätigt. Vgl. 33.4.2.