5 Klassenkörpertheorie

Wir beabsichtigen hier nicht, auf die Geschichte der Klassenkörpertheorie einzugehen; dazu sei auf die einschlägige Literatur verwiesen, z.Bsp. [Has66], [Fre89]. Unser Ziel ist es, die wichtigsten Resultate zu nennen, auf denen Artin und Hasse aufbauten, und zwar in der Terminologie, wie sie damals gebräuchlich war und auch von Artin in den Briefen benutzt wurde. Es handelt sich also um die Takagische Klassenkörpertheorie, wie sie in dem Klassenkörperbericht von Hasse [Has26a] dargestellt wurde.

Es sei k ein algebraischer Zahlkörper endlichen Grades und ein ganzer Divisor von k.

Es bezeichne A die Gruppe der zu teilerfremden Divisoren von k. Der „Hauptstrahl modulo “ besteht aus denjenigen Hauptdivisoren () A, die erzeugt werden können durch ein Element K^×, welches total positiv ist und der Kongruenzbedingung 1 mod genügt. Allgemeiner wird auch jede Untergruppe H A, die diesen Hauptstrahl enthält, als eine Strahlgruppe modulo bezeichnet; die Faktorgruppe A/H ist die zugehörige Strahlklassengruppe modulo . Deren Ordnung h = (A : H) wird Klassenzahl genannt.

Zu jeder Strahlgruppe H gehört eine eindeutig bestimmte abelsche Erweiterung K|k welche dadurch gekennzeichnet ist, dass:

• die nicht in aufgehenden Primstellen von k unverzweigt sind in K,
• eine nicht in aufgehende Primstelle genau dann vollzerlegt ist in K, wenn H.²⁶

K heißt der Klassenkörper über k mit der zugehörigen Strahlgruppe H. Der Grad des Klassenkörpers ist gleich der Klassenzahl:

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Wenn H gleich dem Hauptstrahl modulo ist, so spricht man von „dem“ Strahlklassenkörper modulo m. Wenn dabei = 1 und H aus allen Hauptdivisoren besteht, dann spricht man von dem Hilbertschen Klassenkörper von k. Er kann gekennzeichnet werden als der maximale unverzweigte abelsche Erweiterungskörper von k. Sein Grad ist gleich der gewöhnlichen Klassenzahl von k.

Die Tatsache, dass zu jeder Strahlgruppe ein zugehöriger Klassenkörper existiert, wird bei Hasse [Has26a] der Existenzsatz der Klassenkörpertheorie genannt. Als Umkehrsatz bezeichnet man den folgenden, auf Takagi [Tak20] zurückgehenden Satz:

Dabei ist der Modul so zu wählen, dass er die in K verzweigten Primstellen von k in hinreichend großer Vielfachheit enthält. Sodann kann H beschrieben werden als diejenige Untergruppe von A, die erzeugt wird durch den Hauptstrahl und die Normen der Divisoren aus K. Bei Takagi wurde diese Charakterisierung von H in die Definition des Klassenkörpers eingebaut, und es ergab sich, dass dies gleichbedeutend ist mit der oben genannten, von Weber stammenden Definition durch die Eigenschaften (i) und (ii).

Es ist möglich, dass verschiedene Strahlgruppen H zu demselben Klassenkörper führen: Sei ' ein Vielfaches von . Dann ist A_' A. Der Durchschnitt H_' = H A_' enthält den Hauptstrahl modulo ' und ist also eine Strahlgruppe modulo '. Die zugehörigen Strahlklassengruppen sind dabei in natürlicher Weise isomorph: A_'/H_' = A/H. In dieser Situation sagt man, das H_' und H „gleich“ sind (in Anführungszeichen). Dadurch wird eine reflexive und transitive Relation der „Gleichheit“ in der Menge der Strahlgruppen erzeugt. Und es gilt: Zwei Strahlgruppen H und H_' besitzen dann und nur dann denselben Klassenkörper, wenn sie „gleich“ sind in dem angegebenen Sinne. Also:

Ist K Klassenkörper zur Strahlgruppe H, so nennt man einen Erklärungsmodul für K. Der im Sinne der Teilbarkeit kleinste Erklärungsmodul heißt der Führer der abelschen Erweiterung K|k; jeder andere Erklärungsmodul ist ein Vielfaches dieses Führers.²⁷ Der Führer ist Teiler der Diskriminante von K|k und enthält dieselben Primdivisoren.

Wenn es auf die Wahl des Erklärungsmoduls von K|k nicht ankommt, so schrieb man zu Artins Zeiten einfach H statt H und A/H statt A/H. Das ist sinnvoll, weil es für verschiedene Erklärungsmoduln ,' einen natürlichen Isomorphismus A/H = A_'/H_' gibt.²⁸

Auch Artin benutzt in seinen Briefen diese Terminologie: Er sagt „K sei Klassenkörper nach dem Strahl H“ und: „Die Idealklassen von k mögen nach H erklärt werden“. Manchmal spricht er auch einfach von „Idealklassen nach K“ und meint damit die Klassen derjenigen Strahlklassengruppe A/H, die zu K gehört.

Seit Weber und Takagi war bekannt, dass die Strahlklassengruppe A/H als abelsche Gruppe dieselben Invarianten besitzt wie die Galoisgruppe G des zugehörigen Klassenkörpers K|k ; das impliziert die Existenz eines Isomorphismus A/H G. Es war jedoch – außer in Spezialfällen²⁹ – nicht bekannt, ob und wie ein solcher Isomorphismus kanonisch herstellt werden kann.

Das Artinsche Reziprozitätsgesetz löst nun genau dieses Problem, denn es stellt auf kanonische Weise einen Isomorphismus der Strahlklassengruppe A/H mit der Galoisgruppe von K|k her.

Und zwar, wie Artin im Brief Nr.8 darlegt, wird dieser Isomorphismus dadurch gegeben, dass jedem zu teilerfremden Primideal der zugehörige Frobenius-Automorphismus in G zugeordnet wird. Allerdings benutzte man damals noch nicht die Terminologie „Frobenius-Automorphismus“. Artin spricht einfach von der „Substitution, die zugeordnet ist“, und er bezeichnet sie mit . Definitionsgemäß ist dadurch gekennzeichnet, dass

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Hierbei bezeichnet ||, wie schon vorher, die Anzahl der Elemente des Restklassenkörpers von .³⁰

Erst Hasse hat im zweiten Teil seines Klassenkörperberichts [Has30a] die Bezeichnung „Frobenius-Symbol“ eingeführt, und er hat dafür die Bezeichnung geschaffen³¹ , in Anlehnung an die klassische, von Legendre stammende Bezeichnung im Zusammenhang mit dem Gaußschen quadratischen Reziprozitätsgesetz.

Die maximale unverzweigte abelsche Erweiterung von k wird, wie schon oben gesagt, der Hilbertsche Klassenkörper von k genannt, oder auch der absolute Klassenkörper. Der zugehörige Erklärungsmodul ist = 1, und A/H ist die gewöhnliche Idealklassengruppe von k. Das Artinsche Reziprozitätsgesetz stellt einen Isomorphismus der Galoisgruppe mit der Idealklassengruppe her. Ein wichtiges, von Hilbert formuliertes Problem war der Beweis des Hauptidealsatzes; dieser besagt, dass jedes Ideal aus k in dem absoluten Klassenkörper zu einem Hauptideal wird. Dieser Satz konnte erst 1927 durch Furtwängler auf der Grundlage des Artinschen Reziprozitätsgesetzes bewiesen werden; die dahinführende Entwicklung spiegelt sich in dem Briefwechsel Artin-Hasse wider.