6 Zeittafel

Wir haben nur solche Themen in die Zeittafel aufgenommen, die in dem Briefwechsel Artin–Hasse direkt oder indirekt zur Sprache kommen. Die Jahreszahl bezieht sich auf den Zeitpunkt der Fertigstellung einer Arbeit bezw. des Beweises eines Resultats; dies kann verschieden sein von dem Erscheinungsjahr des Artikels.

Hilbert: Zahlbericht.

Geburtsjahr von Artin und von Hasse.

Hilbert: Theorie des relativ-quadratischen Zahlkörpers, wobei insbesondere das quadratische Reziprozitätsgesetz als Produktformel für das quadratische Hilbertsche Symbol formuliert wird.

Hilbert: Vortrag in Paris, worin er als 9.Problem das Reziprozitätsgesetz für Potenzreste formuliert, zunächst für beliebige ungerade Primzahlexponenten , dann aber weitergehend auch für eine beliebige Primzahlpotenz ⁿ als Exponenten.

Furtwängler: Lösung des Hilbertschen 9.Problems für einen Primzahlexponenten in mehreren Arbeiten. Dabei auch das Lokal-Global-Prinzip für Normen zyklischer Erweiterungen von Primzahlgrad.

Takagi: Arbeiten zur Klassenkörpertheorie: In seiner ersten Arbeit (1920) entwickelt Takagi die Klassenkörpertheorie als die Theorie der abelschen Zahlkörper-Erweiterungen. Die zweite Arbeit (1922) zeigt, dass sich auf dieser Grundlage die Resultate von Furtwängler herleiten lassen.

Artin: Studium in Leipzig (Herglotz); vorher ein Semester 1916/17 in Wien (Furtwängler). 1921 Promotion. Dissertation: Arithmetik der quadratischen Funktionenkörper über _p und dabei Formulierung der Riemannschen Vermutung für diese Körper. Nach der Promotion geht Artin für ein Jahr nach Göttingen.

Hasse: Studium in Göttingen 1918/20 (Hecke) und in Marburg 1920/21 (Hensel); vorher ein Semester 1917 in Kiel (Toeplitz). 1921 Promotion. Dissertation: Quadratische Formen über und dabei Formulierung des Lokal-Global Prinzips.

Artin: Zum WS 1922/23 geht er nach Hamburg als Assistent von Blaschke. 1923 Habilitation in Hamburg. Habilitationsschrift: L-Reihenarbeit.

Hasse: 1922 Habilitation in Marburg. Habilitationsschrift: Quadratische Formen über Zahlkörpern, einschließlich Lokal-Global-Prinzip. Zum WS 1922/23 geht Hasse nach Kiel als Privatdozent mit Lehrauftrag.

Artin und Hasse treffen sich im September 1922 bei der Jahrestagung der DMV in Leipzig und im März 1923 bei einem Kolloquiumsvortrag von Hasse in Hamburg. Beginn des Briefwechsels Artin–Hasse. Gemeinsame Arbeit: Über den 2.Ergänzungssatz des Reziprozitätsgesetzes bei Primzahlexponent (erschienen 1925).

DMV-Tagung Innsbruck. Artin: Theorie der Zöpfe.

Hasse: Explizite Reziprozitätsformeln bei Primzahlexponent. Emmy Noether: Primidealzerlegung in Dedekind-Ringen.

Artin: a.o.Professor in Hamburg. Er beschäftigt sich jetzt wieder mit Zahlentheorie.

Hasse: o.Professor in Halle. DMV-Tagung in Danzig: Hasses wegweisender Vortrag über die Takagische Klassenkörpertheorie.

Artin: o.Professor in Hamburg. Zusammen mit Schreier: Seminar über die Arbeit von Tschebotareff über die Dichte von Primidealen mit gegebener Frobenius-Substitution. Formal reelle Körper. Zyklische Erweiterungen in Charakteristik p.

Hasse: Klassenkörperbericht Teil I. Eisensteinsches Reziprozitätsgesetz für beliebigen Exponenten m.

Artin: Vorlesungen über Algebra. Van der Waerden hat die Vorlesung ausgearbeitet und, auf Artins Vorschlag, unter Benutzung dieser Aufzeichnungen das Buch „Moderne Algebra“ geschrieben.

Hasse: Neue Begründung der Theorie der komplexen Multiplikation.

Artin: Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate. Reell abgeschlossene Körper. Beweis seines Reziprozitätsgesetzes, das er schon 1923 in der L-Reihenarbeit formuliert hatte.

Hasse: Klassenkörperbericht Teil Ia (Beweise zu Teil I). Reziprozitätsgesetz der m-ten Potenzreste als direkte Folgerung aus dem Artinschen Reziprozitätsgesetz, darin Verallgemeinerung des Jacobi-Symbols und des Hilbertschen Normsymbols für beliebigen Exponenten m.

Beginn eines besonders regen Briefwechsels Artin–Hasse über Fragen der Reziprozitätsgesetze. Artin besucht am 13.September 1927 Hasse in Halle. Dabei werden nicht nur Fragen erörtert, die mit Reziprozität und Klassenkörpertheorie zusammenhängen, sondern dies ist auch der Tag, an dem Artin seine berühmt gewordene Vermutung über Primitivwurzeln formuliert.

Artin: Drei Arbeiten zur Arithmetik der Algebren: Endliche Schiefkörper, Ringe mit Minimal- und Maximalbedingung, Idealtheorie in Algebren über Zahlkörpern.

Hasse: gemeinsame Arbeit mit Artin über den zweiten Ergänzungssatz für Exponenten ⁿ.

Artin: Hauptidealsatz und gruppentheoretische Verlagerung. Furtwängler: Beweis des gruppentheoretischen Verlagerungssatzes und damit des Hauptidealsatzes.

Hasse: Verallgemeinertes Normsymbol. Lokale Klassenkörpertheorie, zunächst noch als Folge des globalen Reziprozitätsgesetzes von Artin. Führer und Diskriminanten abelscher Körper. (Der Hassesche Teil des Satzes von Hasse-Arf.)

Artin: Lokale Beiträge zu den Artinschen L-Reihen. Gruppentheoretische Struktur der Diskriminante bei galoisschen Erweiterungen.

Hasse: Klassenkörperbericht Teil II. Führer und Diskriminanten abelscher Zahlkörper. Lokale Schiefkörper sind zyklisch. Vermutung: Jeder Schiefkörper über einem Zahlkörper ist zyklisch.

Artin: Galoisstruktur der Einheiten. Klassifikation der Bewertungen algebraischer Zahlkörper.

Hasse gemeinsam mit R. Brauer und Emmy Noether: Beweis der Zyklizitäts-Vermutung für Schiefkörper über Zahlkörpern. Lokal-Global-Prinzip für einfache Algebren.

Artin: Im Februar Gastvorlesung in Göttingen über das neue Gesicht der Klassenkörpertheorie.

Hasse: Struktur der Brauerschen Gruppe über Zahlkörpern. Die Hasse-Invarianten von einfachen Algebren.

Im Dezember 1932 treffen sich Artin und Hasse in Hamburg. Artin weist Hasse hin auf die Riemannsche Vermutung für Funktionenkörper über endlichen Körpern.

Hasse: Im März Beweis der Riemannschen Vermutung im Falle elliptischer Funktionenkörper.

Hasse: hält auf Einladung von Artin in Hamburg eine Reihe von Vorträgen über seinen Beweis der Riemannschen Vermutung im Falle elliptischer Funktionenkörper. (Der vollständige Beweis erschien 1936.)