41 1932, Brief von Artin an Hasse

(undatiert) 1932¹⁴⁷

Lieber Herr Hasse!

Vielen Dank für Ihre beiden Briefe. Meine späte Antwort erklärt sich daraus, dass ich nochmals, aber vergeblich versucht habe nur eine Fortsetzung ein bisschen über 1 auszunützen.¹⁴⁸

Ja, damit habe ich Ihnen meine Antwort schon gegeben. Man braucht die Fortsetzbarkeit bis R(s) > 0. Wenn Ihnen sehr viel daran liegt, bis R(s) >, aber das nützt nicht einmal bei quadr[atischen] Körpern etwas, da man dann nur R(s) > hat. Die Methode ist die von Ihnen angegebene:
L(s,) = e _^H , wo h die Ordnung der Gruppe. Also
L(s,) = Dir[ichlet] Reihe mit pos[itiven] Koeff[izienten] also, wenn ein
L(1,) = 0 ist, bis 0 fortsetzbar. Reihe im Exponenten kleiner als Reihe für L(s,), also konvergiert sie auch für R(s) > 0. Setze s = und behalte nur durch h teilbare . Dann alle und es konvergiert alle was nicht der Fall ist.

Wollen Sie nur R(s) > benutzen, so teilen Sie die Charaktere in komplexe und reelle ein. Komplexe werden wie gewöhnlich erledigt. Jeder einzelne reelle Charakter ist Char[akter] für eine Gruppe H vom Index h = 2. Hier der vorige Beweis mit = .

Mehr kann ich Ihnen leider nicht sagen. Ich hatte den Satz im vorigen Semester aus der Kl[assen]k[örper]-Th[eorie] bewiesen. Für die Kl[assen]k[örper] braucht man ihn ja nie.

Sonst ist nichts Neues zu berichten. Im Kolleg bringe ich gerade Ihre -adischen Schiefkörper um anschliessend Ihre neue Arbeit vorzutragen.¹⁴⁹ Mir ist dabei nichts weiter eingefallen ausser vielleicht dem Folgenden.

Ihre amerikanische Arbeit¹⁵⁰ ist doch fast ganz ohne Korrektur in Ordnung. Denn ist einfach und e idempotent aus , so ist beinahe trivial dass ähnlich zu ee ist ob nun vollst[ändige] Matrixeinheiten gefunden werden können oder nicht. Und darauf kommt es schliesslich an.

Was die expliziten Formeln betrifft, so möchte ich als Desideratum vorschlagen: sei einfach mit Zentrum k und c_i die Multiplikationskonstanten (ohne Zerfällen in verschränktes Produkt also c_i in k). Man berechne aus den c_i durch einen übersichlichen in k verlaufenden Algorithmus die -adischen Invarianten. Aber das ist vielleicht schon zuviel verlangt.¹⁵¹

Mit vielen Grüssen auch an Ihre Gattin und von meiner Frau

      Ihr

      Artin

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