25.2 Metabelsche Gruppen

Einen Anhaltspunkt, für welchen „Bericht“ Hasses über metabelsche Gruppen sich Artin sehr interessiert hat, können wir aus Hasses Tagebuch entnehmen. Dort findet sich ein Eintrag, datiert mit „Dezember 1928“, mit dem Titel: „Zur Hauptidealisierung in Unterkörpern des -Klassenkörpers bei imaginär-quadratischem Grundkörper“. Es werden wohl die Dinge aus dieser Tagebuch-Eintragung gewesen sein, über die Hasse berichtet hatte.

Wir finden dort, also im Tagebuch, zunächst einen vollständigen Beweis des Scholz-Hasseschen Satzes; siehe 22.3. Diesen Beweis hat Hasse später in seinen Klassenkörperbericht II [Has30c] aufgenommen. Danach finden wir im Tagebuch eine Diskussion der gruppentheoretischen Version dieses Satzes; das ist offenbar der Anlass für Hasse, seine Überlegungen an Artin zu schicken. Denn Artin hatte ja in seinen Briefen die Frage aufgeworfen, welche gruppentheoretischen Einschränkungen bestehen müssen, damit eine 2-stufig metabelsche -Gruppe als Galoisgruppe des zweiten Klassenkörpers über einem imaginär-quadratischen Körper realisiert werden kann.

In der Tagebuch-Eintragung findet sich eine zumindest partielle Antwort für den einfachsten nichttrivialen Fall, d.h. wenn die Galoisgruppe des (ersten) -Klassenkörpers vom Typus (,) ist.