02.06.1931, Noether an Hasse

Inhalt:

Noethers Kommentare zur amerikanischen Arbeit von Hasse. Ideen zur hyperkomplexen Begründung der Klassenkörpertheorie, sowie zum Lokal-Global-Prinzip für Algebren. Engstrom. Herbrand.


Göttingen, 2. 6. 31

Lieber Herr Hasse!

Ihr Manuskript habe ich mit großer Freude gelesen; es sieht alles so selbstverständlich aus - sogar der round-about-way, so lange Ihre Definition des Normenrestsymbols nicht durch bessere ersetzt wird - daß man von dem stückweisen Finden der Beweise nichts mehr sieht.¹⁾

Das Interessanteste ist mir das Fundamentalresultat (17. 5.); ich glaube nach wie vor - trotz Ihres skeptischen Briefes vom April - daß hier die Grundlagen einer hyperkomplexen Begründung der Klassenkörpertheorie liegen.²⁾ Allerdings denke ich dabei jetzt an stärkere Hilfsmittel, nämlich einen direkten analogen Aufbau für die Idealklassen: an Stelle der Elemente bzw. Klassen (d.h. Klasse äquivalenter Darstellungen durch D, D', ...) von A = Z×× G³⁾ würde dann das Gruppoid der Ideale und Idealklassen aus A treten; an Stelle der zugeordneten D die Gruppe der zweiseitigen Ideale bzw. Idealklassen; anstelle des Satzes vom inneren Automorphismus die Tatsache, daß zwei maximale Ordnungen (Idempotente) durch Transformation mit einem Ideal in einander übergehen usw. Dann wäre auch Ihr Einwand nicht mehr stichhaltig, daß es keinen hyperkomplexen Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes gibt; denn man könnte jeden auf der Geschlechtertheorie beruhenden Beweis als hyperkomplex bezeichnen. Im übrigen hat das gute Weile, denn gemacht ist ja nichts! ⁴⁾

Fast gerade so schön finde ich übrigens Theorem 2 ; und hoffe sehr, daß Ihnen hier mit der Zeit der Nachweis gelingt, daß alles zyklisch erzeugbar ist. Es sieht doch sehr plausibel aus, daß es keine über dem Zentrum unverzweigte Divisionsalgebren gibt. Hat Brandt nicht vielleicht einen Beweis dafür? Ich meine mich zu erinnern, daß er einmal von diesen Fragen sprach.⁵⁾

Nun soll ich noch das Approbatum für den mittleren Teil erteilen: ich glaube, Sie haben es fertig gebracht, die Sache den Amerikanern, und auch den Deutschen, mundgerecht zu machen, ohne zuviel von den Begriffen zu opfern.⁶⁾

Ich habe hier noch ein paar Bemerkungen, die ich mir beim Durchlesen - zur Verwendung oder Nichtverwendung - aufgeschrieben habe:

Der Produktsatz ist besser zu formulieren:

Ebenso wäre wohl S. 37 zu erwähnen, daß die Ideale (A×A)e^S als konjugiert alle von gleicher Länge; oder gleichem Rang; denn erst daraus folgt ja, da die Ae^S nicht einfach, die Möglichkeit des Abspaltens der n² Matrizeneinheiten, also der Übergang zu e(A × A)e (das entspricht meiner Vorbemerkung über den Automorphismenring e(A × A)e.) Der Schluß wiederholt sich in 15.

Wollen Sie nicht übrigens, da e für Idempotent, die Bezeichnung für das Einselement auf S. 19 ändern, oder ganz weglassen; ich glaube es wird nirgends gebraucht.

S. 40, dritte Formelzeile von unten, war ganz rechts ein e vergessen.

Das übrige sind nur ein paar Zitat-Bemerkungen:

S. IV oben; meine Vorlesung ist als 1929/30 zu zitieren; denn die verschränkten Produkte stammen ja vollständig aus 30. Bei van der Waerden II findet sich die Theorie der Zerfällungskörper, nicht aber die verschränkten Produkte.

Warum schreiben Sie S. 21 nicht: (8.7.2) ; entsprechend für die a S. 19: das ist doch symmetrischer in der Reihenfolge!

S. 23, zweite Zeile von oben, wird zuerst ~ 1 benutzt; es wäre gut auf die Definition I, 5 zu verweisen.

S. 28, c) wird verständlicher, wenn Sie gleich sagen daß Sie auf (10.6) hinauswollen; dieser Satz vom inneren Automorphismus ist übrigens schon beliebig oft in der Literatur bewiesen: in van der Waerden II, bei Brauer, meines Wissens auch in einer der letzten Arbeiten von Albert; ein Zitat wäre wohl richtig.

S. 32. Man kann (11.2) so formulieren, daß die Umkehrung immer gilt: man muß nur zufügen, daß A die Algebra kleinsten Grades ist, für die die Einbettung gilt; bei (11.3): “und wenn Z sich in kein A von niedrigerem Grad einbetten läßt” (irreduzible Darstellung von Z durch D). So steht es z.B. bei van der Waerden (und in meiner Vorlesung), was eventuell noch zu zitieren wäre (übrigens sind (11.2), (11.3), (11.4) zum Teil unabhängig davon, daß vollkommen [ist], was Sie in Ihren Anmerkungen noch voraussetzen; wieder aus van der Waerden oder meiner Vorlesung zu entnehmen).

S. VI. Am Schluß der Anmerkung zu S. 36 wäre vielleicht später zu sagen, daß Brauer Anwendungen der Faktorensysteme aufs Hyperkomplexe macht, während ich die Theorie hyperkomplex begründe.

Das sind natürlich nur Vorschläge: Sachen, die ich gut kenne, kann ich nicht ohne Bemerkungen lesen.

Engstrom war mit Ihrem Englisch, bis auf die Umstellungen, sehr zufrieden; hoffentlich werden Sie es auch mit seinem Existenztheorem sein können! Er ist überhaupt sehr begeistert von allem was er in Deutschland gelernt hat.⁷⁾

Ich schicke Engstroms Manuskript an Deuring der schon lange ungeduldig darauf ist; er ist für ein paar Wochen aushilfsweise bei van der Waerden⁸⁾, dessen Assistent Winter noch in Amerika ist; kommt aber zum 1. Juli wieder her. Mitte Juni will auch Herbrand kommen, der jetzt bei Artin ist.

Beste Grüße, Ihre Emmy Noether.
         

¹Jetzt hatte Hasse eine Kopie des fertiggestellten Manuskript seiner amerikanischen Arbeit Has:1932 an Noether geschickt. (Vgl. die vorangegangene Postkarte ^* vom 12. 4. 1931.) Der “round-about-way”, von dem Noether spricht, ist der Weg zur Definition des Normenrestsymbols. Zu diesem Zeitpunkt konnte Hasse das lokale Normenrestsymbol noch nicht völlig im Lokalen definieren, sondern er musste globale Konstruktionen zur Definition heranziehen. Der Beweis der fundamentalen Eigenschaften des Normenrestsymbols geschieht unter Benutzung des globalen Reziprozitätsgesetzes von Artin. Hasse selbst bezeichnet in der Arbeit diesen Weg als “round about” und stellt die Aufgabe, eine rein lokale Definition zu finden.

²Das “Fundamentalresultat (17.5)” in der amerikanischen Arbeit ist der Satz, dass die Hassesche Invariante einer lokalen Divisionsalgebra unabhängig ist von der Darstellung der Algebra als zyklisches verschränktes Produkt. Ein Jahr später, in seiner Arbeit Has:1933 zum 50. Geburtstag von Emmy Noether, greift Hasse die in dem vorliegenden Brief geäußerte Idee Noethers auf. Er sagt dort in der Einleitung: “Emmy Noether bemerkte nun mit Recht, daß ja gerade der von mir bewiesene Invarianzsatz eine direkte, ganz im Kleinen verlaufende Definition des Normenrestsymbols liefert; sie hat damit den Schlußsatz meiner Arbeit [8] in einer nicht vorhergesehenen Weise widerlegt.” Die Arbeit [8] ist gerade die amerikanische Arbeit Has:1932 von Hasse. Der Schlußsatz in [8], den Hasse nunmehr als widerlegt betrachtet, lautete: “Even if the theory of the norm residue symbol should, at some time, be carried far enough to avoid that round-about way, the proof of Theorem 1, in the manner here developed will be preferable, I am sure, for reasons of brevity and simplicity.” (“Theorem 1” besagte, dass eine zyklische Algebra über einem Zahlkörper eindeutig (bis auf Ähnlichkeit) bestimmt ist durch das System ihrer lokalen Invarianten.)

³Noether benutzt das Zeichen ×× zur Bezeichnung für ein verschränktes Produkt.

⁴Hier greift Noether wieder ihr Lieblingsthema auf, nämlich die Entwicklung einer “hyperkomplexen” Theorie über Idealen bezw. Idealklassen; heute würden wir das als Galois-Kohomologie bezeichnen.

⁵“Theorem 2” ist i. w. das Lokal-Global-Prinzip für zyklische Algebren. Es ist interessant zu sehen, dass Noether gerade hier einhakt und meint, daraus sollte man doch folgern können, dass jede Divisionsalgebra zyklisch erzeugbar ist - was ja einige Monate später in der gemeinsamen Arbeit Brauer-Hasse-Noether BraHasNoe:1932 auch gelang. - In den Arbeiten von Heinrich Brandt haben wir keinen Beweis gefunden.

⁶Der “mittlere Teil” der Hasseschen Arbeit Has:1932 enthält eine Darstellung der Noetherschen Theorie der Faktorensysteme. Noether hatte die Erlaubnis erteilt, dass ihre Theorie (die bislang noch nicht publiziert war) von Hasse in seine amerikanische Arbeit aufgenommen wird. Hasse hat nun die Noethersche Theorie auf seine eigene Art dargestellt, nicht ganz so abstrakt wie Noether in ihrer Vorlesung. Zwar erteilt Noether ihm dafür in dem vorliegenden Brief eine gute Note, aber man merkt an der Art ihres Kommentars, dass sie in Bezug auf diesen Teil nicht so enthusiastisch ist wie bei den anderen Teilen. Das liegt offenbar nicht nur an den folgenden kritischen Detail-Bemerkungen, sondern an der ganzen Anlage der Darstellung, die für Noether nicht abstrakt genug ist. Nur die Tatsache, dass Hasse seine Arbeit ja expressis verbis für “die Amerikaner” schreibt, die vielleicht mit den Noetherschen abstrakten Gedankengängen nicht so vertraut sind, versöhnt Noether mit dem Hasseschen Stil. (Und sie gibt dann ja auch zu, dass es “Deutsche” geben mag, die ihren abstrakten Theorien vielleicht noch nicht aufgeschlossen gegenüberstehen.) - Vgl.dazu auch die Bemerkung Noethers über ihr amerikanisches Auditorium ihrer Vorlesung in Princeton, Brief ^* vom 6. 3. 1934.

An dieser Stelle ist es vielleicht angebracht, einige Bemerkungen anzufügen über die Entstehungsgeschichte der Theorie der Faktorensysteme bei Algebren. Obwohl die hier von Noether diskutierte “amerikanische Arbeit” von Hasse Has:1932 (erschienen 1932) die erste wurde, in der die Theorie der Faktorensysteme publiziert wurde, so ist doch die Priorität eindeutig Emmy Noether zuzuschreiben, die darüber in ihrer Vorlesung im Wintersemester 1929/30 vorgetragen hatte. Diese Vorlesung wurde von Deuring ausgearbeitet und zirkulierte unter den interessierten Mathematikern. (Die Ausarbeitung wurde später in die “Gesammelten Abhandlungen” von Emmy Noether Noe:1983 aufgenommen.) Auch Hasse hatte ein Exemplar der Ausarbeitung erhalten (zumindest eine frühe Fassung), wie aus dem Briefwechsel hervorgeht. Hasse sagt in Has:1932 ganz klar, dass die Theorie der Faktorensysteme von Emmy Noether stammt und in ihrer Vorlesung in Göttingen 1929 entwickelt worden war. Die Überschrift des Kapitels II von Hasses Arbeit lautet: “Emmy Noether’s Theory of Crossed Products.”

In der Noetherschen Theorie handelt es sich um Faktorensysteme, die bei Galoisschen Zerfällungskörpern auftreten, und die sich auf die Automorphismen der Galoisgruppe beziehen. Diese nennt Noether in ihrer Vorlesung Noe:1983 “kleine” Faktorensysteme, weil sie nur von zwei Parametern abhängen (die der Galoisgruppe entstammen). Zuvor hatte Noether in ihrer Vorlesung beliebige separable Zerfällungskörper betrachtet, auch solche die nicht galoissch sind. In dieser allgemeineren Situation gibt es die “großen” Faktorensysteme, die von drei Parametern abhängen, und die ganz entsprechend benutzt werden können, um Algebren zu beschreiben. Diese “großen” Faktorensysteme wurden, was auch Noether zitierte, zuerst von R. Brauer 1926 in Bra:1926 definiert und systematisch untersucht. In seinen darauffolgenden Arbeiten benutzte Brauer diese Faktorensysteme zum Beweis von Struktursätzen der heute so genannten Brauergruppe. In diesem allgemeineren Sinne kann gesagt werden, dass die Theorie der Faktorensysteme bei Algebren auf Richard Brauer zurückgeht.

Allerdings sind die Brauerschen Faktorensysteme „irrational“, wie es Noether Noe:1933 nennt, d.h. die Faktoren liegen nicht in dem Zerfällungskörper k sondern in seiner Galoisschen Hülle. Noether hat später einem ihrer Doktoranden, Werner Vorbeck, die Aufgabe gegeben, daraus „rationale“ Bestimmungsstücke herzuleiten, die also im Zerfällungskörper selbst (und in seinen Konjugierten) liegen. Die zugehörige Dissertation Vor:1935 wurde jedoch nicht mehr abgeschlossen, bevor Noether aus Göttingen vertrieben wurde. (Offiziell hat Vorbeck 1934 bei F. K. Schmidt promoviert, wobei Emmy Noether noch von Bryn Mawr aus ihr Gutachten über die Dissertation schickte.) Die Vorbecksche Dissertation ist niemals publiziert worden und hat auf die spätere Entwicklung keinen Einfluss gehabt.

Insbesondere unter dem Aspekt der Kohomologietheorie bevorzugt man heute meistens die handlicheren Noetherschen “kleinen” Faktorensysteme, so wie es Noether vorgeschlagen hatte.

Unabhängig von der durch Brauer und Noether gestarteten Entwicklung in Europa, entstanden auch in den USA in der Umgebung von Dickson Ansätze zur Theorie der Faktorensysteme. In der deutschen Ausgabe Dic:1927 (in Abschnitt 34) betrachtet Dickson Divisionsalgebren (und allgemeiner einfache Algebren), die einen galoisschen maximalen Teilkörper enthalten; es wird gezeigt, dass sich solche Algebren als verschränktes Produkt darstellen lassen. Allerdings setzt Dickson nicht voraus, dass die Algebren assoziativ sind. Es fehlen also die Noetherschen Assoziativrelationen; lediglich im Falle von Galoisgruppen sehr spezieller Bauart (zwei Erzeugende) werden explizite Bedingungen aufgestellt, welche die Assoziativität der Algebra widerspiegeln. In Dic:1928 berichtet Dickson, dass er für beliebige auflösbare Galoisgruppen solche Bedingung aufstellen könne, und das wird ausgeführt am Beispiel von Gruppen der Ordnung pq. Wir können davon ausgehen, dass diese Resultate von Dickson in Deutschland bekannt waren. (Hasse hatte das Buch Dic:1927 für das “Jahrbuch” kritisch referiert, ebenfalls auch die Arbeit Dic:1928 .) Später hat der Dickson-Schüler Albert in der Arbeit Alb:1931b gezeigt, dass jede einfache Algebra ähnlich ist (im Sinne der Brauergruppe) zu einem verschränkten Produkt. Hierbei arbeitet Albert von vornherein nur mit assoziativen Algebren. Da für diese die Gültigkeit der Assoziativrelationen trivial ist, so fehlt auch hier die Erwähnung der Assoziativrelationen. Die Frage der Konstruktion von Algebren mit Hilfe von Faktorensystemen wird in Alb:1931b nicht behandelt.

Immerhin sind diese Passagen aus den Arbeiten von Dickson und Albert als erste Ansätze in Richtung einer allgemeinen Theorie der Faktorensysteme bei Algebren anzusehen. Albert erklärt diese Situation aus seiner Sicht in einem Brief vom 26. 11. 1931 an Hasse:

Hiernach ging es auf Dickson zurück, dass die Theorie der Faktorensysteme bei Algebren in den USA zunächst nicht weiter verfolgt wurde. Zwar hat Dickson die zyklischen Algebren entdeckt und diese durch die Normfaktorgruppe beschrieben. Aber der Schritt von der Normfaktorgruppe zyklischer Erweiterungen zur zweiten Kohomologiegruppe beliebiger galoisscher Erweiterungen wurde von Dickson nicht gemacht, er wurde von Emmy Noether initiiert. Siehe dazu Noethers eigene Äußerung im Brief vom 12. 11. 1931, und auch die dortige Anmerkung 3. Siehe auch die Anmerkung 1 zum Brief vom 19. 12. 1930.

Beachte, dass in den genannten Jahren, also 1928-30, die Noethersche Theorie der Faktorensysteme in USA offenbar noch nicht allgemein bekannt war; dies änderte sich erst mit der Arbeit Has:1932 , die in den “Transactions of the American Mathematical Society” erschien (und übrigens von Albert für die Transactions referiert worden war).

Wie wir aus den Lebenserinnerungen von Mac Lane MacL:2005 erfahren, hat Albert die oben beschriebene Situation auch ihm (Mac Lane) geschildert. Mac Lane schreibt:

Und Mac Lane nennt für “Germany” die Namen von Helmut Hasse, Richard Brauer und Emmy Noether.

⁷Wie bereits früher gesagt, hatte Engstrom die Hassesche Arbeit sprachlich durchgesehen und korrigiert. Vgl.Brief ^* vom 12. 4. 1931. Das in Rede stehende Existenztheorem benötigt man in dem Beweis, dass jede Algebra zyklisch ist. Das Theorem lautet: Sind endlich viele Stellen eines Zahlkörpers K vorgegeben, und zu jeder dieser Stellen p eine natürliche Zahl n_p, dann gibt es stets eine zyklische Erweiterung L|K, deren Grad n das kleinste gemeinsame Vielfache der n_p ist, und deren lokaler Grad an jeder der vorgegebenen Stellen p ein Vielfaches von n_p ist. Hasse hatte sich offenbar einen Beweis dieses Theorems zurechtgelegt, und er hatte Engstrom vorgeschlagen, den Beweis auszuführen. Engstrom hat das zugesagt, aber dann doch nicht durchgeführt. Der Satz wurde später in verallgemeinerter Form von Grunwald (Doktorand von Hasse) bewiesen. Zwar entdeckte Wang (Doktorand von Artin) im Jahre 1948 einen Fehler im Grunwaldschen Satz; aber der Hassesche Existenzsatz in der obigen, ursprünglichen Form ist davon nicht betroffen. Vgl. dazu auch Roq:2004a .

⁸Van der Waerden war damals Ordinarius an der Universität Leipzig.