04.10.1927, Noether an Hasse, Postkarte

Inhalt:

Frage: Gibt es zyklische Körper hohen Grades, die minimale Zerfällungskörper der Quaternionenalgebra sind?


Göttingen, 4. 10. 27

Lieber Herr Hasse,

Können Sie mir sagen, ob aus den allgemeinen Existenzsätzen über abelsche Körper direkt dieser folgt: Es gibt zu jedem n mindestens einen (vermutlich beliebig viele) in bezug auf den Körper der rationalen Zahlen zyklischen Körper des Grades 2ⁿ, derart daß sein Unterkörper vom Grad 2^n-1 reell ist¹⁾, und daß (-1) in ihm als Summe von höchstens drei Quadraten darstellbar ist (Quadrate gebrochener Zahlen). Im Falle der Körper 4. Grades kann man das direkt aus der Parameterdarstellung ablesen (z.B. Weber, kl. Lehrb. §93 ²⁾); aber allgemein komme ich formal nicht durch.

Es handelt sich um ein Beispiel zur Darstellungstheorie durch Matrizen, nämlich die Frage, ob die Grade der kleinsten Körper, in denen eine irreduzible Darstellung möglich ist, beschränkt sind. Dabei nenne ich einen Körper einen kleinsten (in bezug auf die Darstellung), wenn diese in keinem seiner Unterkörper möglich ist.³⁾

Im Fall der Quaternionenkörper ergeben nun alle Zahlkörper, in denen (-1) als Summe von höchstens drei Quadraten darstellbar ist, irreduzible Darstellungen durch Matrizen. Die obige Vermutung bedeutet also, daß der Grad der kleinsten Körper nicht beschränkt ist. R. Brauer äußerte (in Kissingen) die Vermutung der Nichtbeschränktheit. Seine Beispiele waren aber komplizierter als Quaternionenkörper. Es würde folgen, daß man über diese kleinsten Körper viel weniger weiß, als ich eine Zeitlang dachte.

Mit besten Grüßen, Ihre Emmy Noether.
    

¹Diese Realitätsbedingung ist von selbst erfüllt und hätte also weggelassen werden können. Dies ist ein Beispiel dafür, dass Noether ihre Postkarten sehr impulsiv verfasste und sofort abschickte, ohne noch einmal den Text zu kontrollieren (in derselben Weise wie heute oftmals e-mail Nachrichten versandt werden). Sonst hätte sie sicherlich bemerkt, dass die Realitätsbedingung überflüssig ist, wie sie es ja auch in ihrer nächsten Postkarte ^* vom 19. 10. 1927 feststellt.

²Außer dem bekannten 3-bändigen “Lehrbuch der Algebra” hatte Heinrich Weber 1912 noch ein “Kleines Lehrbuch der Algebra” herausgegeben Web:1912 .

³Auf der DMV-Tagung 1925 in Danzig hatte Emmy Noether darauf hingewiesen, dass sich die Darstellungstheorie durch Matrizen in die Strukturtheorie der Algebren einordnen lässt Noe:1926b . Danach hat sie diesen Ansatz weiter entwickelt (u.a. in Vorlesungen), was später in der berühmten Arbeit Noe:1929 gipfelte, die als “one of the pillars of modern linear algebra” bezeichnet wurde (Curtis). Zum Zeitpunkt des vorliegenden Briefes war jedoch diese Arbeit noch nicht erschienen, und es ging Noether um die Klärung gewisser Details, insbesondere um die Eigenschaften der Zerfällungskörper. Sei A eine einfache zentrale Algebra über einem Körper K, vom Grad n². Ein Erweiterungskörper L von K heisst “Zerfällungskörper” von A, wenn A _KL eine volle Matrixalgebra über L ist. Das bedeutet, dass A eine irreduzible Matrizendarstellung über dem Körper L besitzt. In einem Brief an Richard Brauer vom 28. 3. 1927 hatte Noether die Prinzipien ihrer algebrentheoretischen Auffassung der Darstellungstheorie erläutert, dabei jedoch irrtümlich behauptet, dass jeder kleinste Zerfällungskörper einer zentralen Divisionsalgebra den Grad n besitzt. Brauer hatte das widerlegt, und auf der DMV-Tagung in Bad Kissingen im September 1927 hatte er ihr ein Gegenbeispiel gezeigt. Noether fragt nun, ob die Grade der kleinsten Zerfällungskörper wenigstens beschränkt sind. Auch dazu hatte ihr Brauer, wie aus ihrem Schreiben zu entnehmen ist, ein Gegenbeispiel geliefert. Noether war dies jedoch zu kompliziert und sie möchte nun herausfinden, ob es Gegenbeispiele schon für die gewöhnliche Quaternionenalgebra über gibt. Ein Erweiterungskörper L von ist genau dann ein Zerfällungskörper von , wenn es ein Element 0 in L gibt, dessen Norm verschwindet, d.h. es gibt in L eine Relation a² + b² + c² + d² = 0 mit nicht sämtlich verschwindenden Termen. Ist etwa a0, so ergibt sich nach Division mit a² eine Darstellung von -1 als Summe von drei Quadraten; das erklärt die Frage Noethers nach Körpern mit dieser Eigenschaft. - In Hasses Antwortbrief ^* vom 6. 10. 1927 wird die Existenz solcher Körper bewiesen.