Eine der genannten Tagebuch-Eintragungen, datiert am 16.Oktober 1928,
behandelt ein Thema, das auch in den Briefen Artins zur Sprache kommt. Die
Eintragung trägt den Titel: „Zum expliziten Reziprozitätsgesetz der -ten
Potenzreste in
-ten Kreiskörpern“, mit der Bemerkung: „Einer Anregung Artins
zufolge ausgearbeitet“. Wir können annehmen, dass sich diese Anregung in
gemeinsamem Gespräch während der Hamburger DMV-Tagung ergeben
hatte.
Es geht um den sog. Umkehrfaktor im Zusammenhang mit dem
Reziprozitätsgesetz. Artin hatte danach gefragt in Punkt 5.) des Briefes Nr.10
vom 21.7.1927. (Siehe 10.4.) Im -ten Kreiskörper wird der Umkehrfaktor durch
das Hilbertsche Symbol
gegeben, und Hasse beschreibt in seinem
Tagebuch eine Formel dafür (wobei
prim zu
und
1 mod
2). Hasse hatte
schon in einer früheren Arbeit [Has25d] solche Formeln angegeben. Die Anregung
von Artin ergibt eine Vereinfachung und gleichzeitige Verallgemeinerung. Da
Hasse diese Formel nicht in seine Arbeit [Has29] und auch nicht in den
Teil II seines Klassenkörperberichts aufgenommen hat, so ist es vielleicht
nicht uninteressant, sie hier zu nennen. Hasse betrachtet die folgende
Situation:
Die in Rede stehende Formel lautet nun:
![]() | (39) |
falls prim zu
und
1 mod
2. Hierbei bedeutet log den
-adischen
Logarithmus.
Der Nachdruck liegt dabei auf der Tatsache, dass für keine
Kongruenzbedingung verlangt wird, sondern nur, dass
prim zu
ist. Wenn
1 mod
ist, so kann
durch log
ersetzt werden, sonst aber nicht, weil der
-adische Logarithmus dann nicht definiert ist.
' ist definiert als die formale
Ableitung von
nach
bei einer Darstellung
=
(
) als Polynom mit
-ganzen Koeffizienten. Wenn
prim zu
ist, so ist der Wert
modulo
eindeutig bestimmt, d.h. unabhängig von der Wahl der Darstellung
=
(
).
Wie es scheint, war Hasse von der einfachen Bauart dieser Formel und von der einfachen, eleganten Beweisidee Artins, die er auf der Hamburger Tagung kennengelernt hatte, so angetan, dass er sich in seinem Tagebuch eine Ausarbeitung anfertigte.