18.3 Hasses Tagebuch-Eintragung

Eine der genannten Tagebuch-Eintragungen, datiert am 16.Oktober 1928, behandelt ein Thema, das auch in den Briefen Artins zur Sprache kommt. Die Eintragung trägt den Titel: „Zum expliziten Reziprozitätsgesetz der -ten Potenzreste in -ten Kreiskörpern“, mit der Bemerkung: „Einer Anregung Artins zufolge ausgearbeitet“. Wir können annehmen, dass sich diese Anregung in gemeinsamem Gespräch während der Hamburger DMV-Tagung ergeben hatte.

Es geht um den sog. Umkehrfaktor im Zusammenhang mit dem Reziprozitätsgesetz. Artin hatte danach gefragt in Punkt 5.) des Briefes Nr.10 vom 21.7.1927. (Siehe 10.4.) Im -ten Kreiskörper wird der Umkehrfaktor durch das Hilbertsche Symbol gegeben, und Hasse beschreibt in seinem Tagebuch eine Formel dafür (wobei prim zu und 1 mod ²). Hasse hatte schon in einer früheren Arbeit [Has25d] solche Formeln angegeben. Die Anregung von Artin ergibt eine Vereinfachung und gleichzeitige Verallgemeinerung. Da Hasse diese Formel nicht in seine Arbeit [Has29] und auch nicht in den Teil II seines Klassenkörperberichts aufgenommen hat, so ist es vielleicht nicht uninteressant, sie hier zu nennen. Hasse betrachtet die folgende Situation:

• eine ungerade Primzahl
• eine primitive -te Einheitswurzel
• = 1 - Primelement für den Primteiler von in ()
• die absolute Spurfunktion in ()

Die in Rede stehende Formel lautet nun:

(39)

falls prim zu und 1 mod ². Hierbei bedeutet log den -adischen Logarithmus.

Der Nachdruck liegt dabei auf der Tatsache, dass für keine Kongruenzbedingung verlangt wird, sondern nur, dass prim zu ist. Wenn 1 mod ist, so kann durch log ersetzt werden, sonst aber nicht, weil der -adische Logarithmus dann nicht definiert ist. ' ist definiert als die formale Ableitung von nach bei einer Darstellung = () als Polynom mit -ganzen Koeffizienten. Wenn prim zu ist, so ist der Wert modulo eindeutig bestimmt, d.h. unabhängig von der Wahl der Darstellung = ().

Wie es scheint, war Hasse von der einfachen Bauart dieser Formel und von der einfachen, eleganten Beweisidee Artins, die er auf der Hamburger Tagung kennengelernt hatte, so angetan, dass er sich in seinem Tagebuch eine Ausarbeitung anfertigte.