9 19.07.1927, Brief von Artin an Hasse

Hamburg 19. Juli 1927

Lieber Herr Hasse!

Vielen Dank für die überaus schnelle mich beschämende¹³ Antwort, die mich brennend interessiert hat. Ich habe deshalb sofort meinen Beweis aufgeschrieben und sende ihn Ihnen in allen Einzelheiten.¹⁴ Nun zu den einzelnen Punkten Ihres Briefes:

1. Ich habe insbesondere, nur unter Benutzung der Klassenkörpertheorie und nicht des Rez[iprozitäts]ges[etzes] von Takagi bewiesen, _(m) hängt nur von der Klasse von ab.¹⁵ Dabei ist beliebiges zur Relativdiskr[iminante] von primes Ideal, braucht aber nicht zu m prim zu sein, wenn definiert wird als Symbol der Klasse. Ferner kann m eine beliebige ganze Zahl sein: m = _1¹2²…_r^r .
2. Sagen Sie, die Behauptung für _(m) sei trivial.¹⁶ Wie meinen Sie das? Aus meinem Rez[iprozitäts]ges[etz] folgt es allerdings und sogar gleich für _(m) . Dagegen folgt es aus der Klassenkörpertheorie noch nicht. Diese gibt nur den Satz dass _(m) = 1 ist dann und nur dann wenn in der Hauptklasse liegt. In den anderen Klassen ist _(m)≠1, mehr weiss man nicht. Ist m Primzahl, so ist es das Takagische Rez[iprozitäts]ges[etz]¹⁷ , und für allgemeines m folgt es aus dem meinen.
3. Ganz besonders gespannt bin ich auf den Furtwänglerschen Beweis¹⁸ . Ist es möglich den zu verstehen ohne die ganze Arbeit zu lesen? Darf ich an Sie die unbescheidene Bitte richten, mir einen Beweis von = ( primär) aus der bewiesenen Tatsache zu schreiben. Ich habe im Kolleg mein Rez[iprozitäts]ges[etz] gebracht und auch die Geschichte. Hoffentlich ist es möglich, das sehr kurz zu machen, so dass ich die Herleitung im Kolleg bringen kann. Von dem Furtwänglerschen Beweis habe ich den Eindruck, als müsste man erst alles lesen und das bring ich jetzt nicht auf. Darf ich Sie also um den Beweis von = bitten?
4. Es wird mir grosse Freude bereiten, wenn Sie meinen Beweis gleich verwenden.¹⁹ Ich glaube, dass er viel einfacher ist als die bisherigen, ohne dass er diese voraussetzt, und auch mehr bedeutet: Aus meinem Reziprozitätsgesetz kann zwar die _(m) Tatsache sofort erschlossen werden, dagegen folgt aus dieser noch nicht umgekehrt mein Rez[iprozitäts]ges[etz]. Ich glaube übrigens, dass mein Beweis in einer etwas kondensierten Darstellung auf höchstens 2–3 Seiten zu bringen ist. Die in den L-Reihen²⁰ behandelten Spezialfälle des Rez[iprozitäts]ges[etzes] sind nunmehr überflüssig. Der dortige Satz 2²¹ ist ja allgemein bewiesen, also auch alle folgenden Sätze, insbesondere der Satz über Frobenius, den ja inzwischen Tschebotareff bewiesen hat (allerdings weniger scharf).²²

Darf ich Sie noch um Entschuldigung bitten wegen meiner schlechten Schrift aber ich beeile mich, damit es rasch geht. Darf ich bald Ihre Antwort über Furtwängler erhoffen, damit ich noch vor Semesterschluss die Sache im Kolleg behandeln kann?

Mit vielen Grüssen und Empfehlungen an Frau Gemahlin

      Ihr Artin

Können Sie = 1 auch beweisen?
Das wäre sehr schön!²³

Beilage zum Brief Nr. 9:

1.) k sei ein gegebener Grundkörper, K ein gegebener relativ Abelscher Oberkörper mit Gruppe . Ist ein Primideal das nicht in der R[elativ]d[iskriminante] von K/k aufgeht und ein Primteiler von in K, so gibt es genau eine Subst[itution] aus von der Art, dass für alle ganzen Zahlen A aus K gilt:²⁴

(1)

wobei unter N immer Absolutnorm von k in bezug auf R = Körper der rationalen Zahlen verstanden wird. Ersetzt man den Primteiler durch den konjugierten , so ist zu ersetzen durch ^-1. Da G abelsch ist, gilt also (1) bei festem für alle Primteiler von , also auch mod. Für alle ganzen A aus K gilt also:

(2)

Die Substitution und das Primideal mögen als einander zugeordnet bezeichnet werden. Bekanntlich ist eine Erzeugende der Zerlegungsgruppe von , dadurch ist aber nicht umgekehrt gekennzeichnet, da man ja als Erzeugende noch gewisse Potenzen von nehmen kann. Haben die Primteiler von den Relativgrad f, so hat also die Ordnung f, da f die Ordnung der Zerlegungsgruppe ist.

Sei eine Untergruppe von und K₀ der zu gehörige Unterkörper von K. Die Gruppe von K₀ ist dann die Faktorgruppe /. Da (2) für alle Zahlen von K gilt, so erst recht für alle aus K₀. Dann aber kann man, da (A₀) = A₀ ist²⁵ , auch an Stelle von ²⁶ verwenden. Gehört also in K zu , dann in K₀ zu . Speziell folgt daraus (f = 1):

In K₀ zerfällt genau dann in lauter Pr[im]id[eale] ersten Rel[ativ]gr[ades], wenn die in K zu gehörige Substitution zu gehört.

Sei jetzt K' ein relativ zu k in bezug auf K fremder Abelscher Körper mit Gruppe '. Die Gruppe des komp[onierten] Körpers KK' ist direktes Produkt ^.'.²⁷ Gehört nun in KK' zu ', und bildet man in KK' die Gleichung (2), wobei aber A nur aus K entnommen ist, so folgt aus '(A) = A, dass in K zu und analog in K' zu ' gehört.

Sei eine primitive m-te Einheitswurzel. Setze K = k(). Gehört (teilerfremd zu m) in K zu , so gilt insbesondere  ^N (mod ) also:
= ^N. Demnach = ( ^N). Soll in K in Pr[im]id[eale] 1. Grades zerfallen, muss = 1, also N 1 (mod m) sein. Also ist K der Klassenkörper für den Strahl:

N

N

N

N

N

N()

Sei K₀ Unterkörper des Kreiskörpers K = k() gehörig zur Gruppe . Die Restgruppe der die Subst[itutionen] aus entsprechen heisse auch . Die zu in irgend einem der beiden Sinne gehörigen Pr[im]id[eale] aus k und nur diese zerfallen in K₀ in Pr[im]id[eale] 1. Gr[ades]. Also ist K₀ Klassenkörper für Restgruppe . Gehört in K zu , so in K₀ zu .   kann auch als Nebengruppe von Restgruppe aufgefasst werden und ist dann gerade die, in der liegt. Also wieder eineindeutige Zuordnung von Klassen und Galoisgruppe. Da in K isomorph, so auch in K₀ (Faktorgruppen).

Das bisherige kann auch so ausgesprochen werden: das Rez[iprozitäts]ges[etz] gilt für alle Klassenkörper von k die zu einer Klasseneinteilung der Idealnormen (absolute) von k in Restklassen gehören, da diese gerade die relativen Kreiskörper sind, wie ja auch aus dem Beweise hervorgeht.

Sei jetzt wieder K ein beliebiger relativ Abelscher Körper über k und Klassenkörper für eine Klassenteilung die kurz die Klassenteilung für K genannt werde.

Hilfssatz 1. ₁ und ₂ mögen in derselben Klasse nach K liegen, ₁ mag zur Subst[itution] gehören. Man nehme an, dass man einen Kreiskörper K' finden kann mit folgenden Eigenschaften.

1. K und K' haben Durchschnitt k.
2. Bei der Idealklassenteilung für K', die wir, da für K' das Rez[iprozitäts]ges[etz] gilt, mit denselben Buchstaben bezeichnen wie die Substitutionen von K', mögen auch ₁ und ₂ in derselben Klasse ' nach K' liegen:
3. Ist f die Ordnung von , g die Ordnung von ', so ist f ein Teiler von g.

Behauptung: auch ₂ gehört in K zu .

Beweis: Im komponierten Körper KK' gehört ₁ zu '. Nun ist KK' Klassenkörper für den Durchschnitt, also für diejenige Klassenteilung die durch „überschneiden“ der für K mit der für K' hervorgeht. Da ₁ und ₂ sowohl für K als auch für K' in derselben Klasse liegen, liegen sie auch in derselben Idealklasse für KK', haben also in KK' und auch in jedem Unterkörper von KK' beide dieselben Zerlegungsgesetze.

Nun sei K₀ derjenige Unterkörper von KK', der zu der vom Element (') erzeugten cyklischen Untergruppe : (') gehört. ₁ gehört in KK' ²⁸ zu ' und dies liegt in . Also zerfällt ₁ in K₀ in lauter Pr[im]id[eale] ersten Grades. ₂ hat die gleichen Zerlegungsgesetze wie ₁, also zerfällt auch ₂ in K₀ in lauter Pr[im]id[eale] ersten Grades. Nach einem vorhin bewiesenen Satz gehört also ₂ in KK' zu einer Substitution aus , etwa zu ('). Da alles Abelsch ist, kann man schreiben '. Nach einem anderen vorhin gezeigten Satz gehört also ₂ in K' zu '. Wir hatten über K' angenommen (in K' gilt das Rez[iprozitäts]ges[etz]), dass ₂ in K' zu ' gehört. Also muss 1 (mod g), erst recht also 1 (mod f) sein. In KK' gehört also ₂ zu ' und folglich in K zu . q.e.d.

Es folgt ein Hilfssatz, dessen Formulierung ganz im Körper der rationalen Zahlen verläuft.

Hilfssatz 2. Es sei f eine vorgegebene natürliche Zahl und p₁ und p₂ zwei gleiche oder verschiedene Primzahlen > 0. Es gibt unendlich viele Primzahlen q von der Art, dass ein f-ter Potenzrest modq in R ist, und dass für kein : 1 < < f - 1 eine Potenz p₁ ein f-ter Potenzrest ist. In einigen Fällen heisst es statt f-ter Potenzrest überall 2f-ter Potenzrest, wogegen immer nur 1 < < f - 1 gefordert wird.

Beweis: 1.) Für f = 1 kann q irgend eine von p₁ und p₂ verschiedene Primzahl sein.

2.) f > 1. Es bedeute eine primitive f-te Einheitswurzel. Ist f gerade und eine der Primzahlen p₁ und p₂ Teiler von f, so soll eine primitive 2f-te Einh[eits]wurz[el] sein. Wir setzen k₁ = R, bezw. k₁ = R je nachdem, welcher der eben erwähnten Fälle da ist. Ist d ein Primteiler von f, so ist nur dann in k₁ enthalten, wenn p₁ = () ₀^d ist, wo ₀ eine Zahl aus k₀ = R() bedeutet. Also muss eine Zahl aus k₀ sein also R als Unterkörper von k₀ Abelsch, insbesondere galois’sch. Das geht nur für d = 2 und auch dann nur, wenn p₁ oder p₂ ein Teiler von f ist. Auf jeden Fall ist also:

Nach Klassenkörpertheorie gibt es in k₁ unendlich viele Primideale vom absolut ersten Grad, die in k₂ unzerlegt bleiben. Ist q die Primzahl in der aufgeht, so ist kein p₁ f-ter (bezw. 2f-ter) Potenzrest modq wie man sofort sieht, da auch in keinem Zwischenkörper k₁() zerfällt. Nun ist vom ersten Grad in k₁. Also zerfällt q, da k₁ galois’sch ist, in k₁ in lauter Primideale ersten Grades, und das ist sicher auch im Unterkörper R bezw. R der Fall. Das heisst aber, dass ein f-ter bezw. 2f-ter Potenzrest modq ist.

Ich bin gern bereit, eventuell diesen Beweis ausführlicher zu schreiben, wenn er Ihnen zu kurz ist. Da Sie aber ja doch in der Theorie ganz zuhause sind, wird das wohl genügen.

Hilfssatz 3. Ist f, p₁ und p₂ vorgegeben, so gibt es unendlich viele q mit der Art, dass die Gruppe der Primreste modq eine Untergruppe hat mit der Eigenschaft: Teilt man in Klassen mit als Hauptklasse, so liegen p₁ und p₂ in derselben Nebengruppe und die Ordnung dieser Klasse ist durch f teilbar.

Beweis: Es bedeute q eine Primzahl von Hilfssatz 2. Man wähle = Gruppe der f-ten Potenzreste  mod.

Satz 1. Ist K ein beliebiger relativ Abelscher Körper über k, so sind alle Primideale derselben Klasse nach K ein und derselben Substitution zugeordnet.

Beweis: 1.) ₁ und ₂ seien zwei Primideale ersten Grades derselben Klasse nach K. Man setze N₁ = p₁ und N₂ = p₂ und bestimme q nach Hilfssatz 3 so, dass der zu dieser Klasseneinteilung der Idealnormen gehörige relative Kreiskörper K' fremd zu K ist. Dann genügt K' den Voraussetzungen von Hilfssatz 1 und ₁ und ₂ sind der gleichen Subst[itution] zugeordnet. (f = Grad von , wo zu ₁ gehört.)

2.) sei beliebig, p die Primzahl durch die teilbar ist, N = p^a. Es gehöre zu und habe Grad f. Man wende Hilfssatz 3 an auf p₁ = p₂ = p wobei aber f ersetzt werde durch af. Dann liegt p^a in einer Nebengruppe mit durch f teilbarer Ordnung. Sei wieder K' der zugehörige zu K fremde Klassenkörper. liegt in einer gewissen Idealklasse nach KK'. In dieser gibt es ein Primideal ₁ vom ersten Grade. ₁ liegt dann mit sowohl in derselben Klasse nach K als auch in derselben nach K' und man kann Hilfssatz 1 anwenden. Allen Primidealen derselben Klasse ist also wegen 1 die gleiche Substitution zugeordnet.

Wir sagen also, der Idealklasse sei zugeordnet. Dass verschiedenen Idealklassen verschiedene entsprechen, wird sich erst am Schluss von allein ergeben. Zunächst zeigen wir:

Satz 2. Es gehöre ₁ zu ₁ und ₂ zu ₂ (₁ und ₂ Idealklassen nach K). Dann gehört ₁₂ zu ₁₂.

Beweis: f₁ und f₂ seien die Grade von ₁ und ₂. Es gibt unendlich viele Primzahlen q₁ 1 (mod f₁) und q₂ 1 (mod f₂). Wähle m = q₁q₂ so, dass der Körper R()  ( = e) fremd ist zu k und zu K. Dann [hat] k() Relativgrad (m), [ist also] Klassenkörper für (m) Restklassen der Idealnormen, also gibt es in jeder Restklasse modulo m Idealnormen. Sei K' = k(). Dann hat, wenn h der Rel[ativ]grad von K ist, KK' den Rel[ativ]grad h ^. (m). Also zerfällt jede Restklasse in h weitere Klassen, wenn man die Klassen für K mit denen für K' überschneidet. In jeder Restklasse modm liegen also Idealnormen jeder Klasse.

Sei nun ₁ primitive Kongruenzwurzel modq₁ und ₁ 1 (mod q₂). Analog ₂. Dann erzeugen ₁ und ₂ die Restgruppe modm.

Man wähle aus ₁ ein Pr[im]id[eal] ₁ das zu ₁ gehört (also N_{1 1}(m)) und aus ₂ eines das zu ₂ gehört. Endlich aus ₁₂ ein Primideal ₃ das zu ₁₂ gehört.

Die Substitutionen von K' können wir wieder wie die Restklassen bezeichnen. In KK' betrachten wir den Unterkörper K₀ der zur Untergruppe gehört die von ₁₁ und von ₂₂ erzeugt wird: (₁₁)(₂₂). Es gehört in KK' unser ₁ zu ₁₁ und ₂ zu ₂₂, zerfällt also in K₀ in Pr[im]id[eale] ersten Grades. Die Klassen nach KK' in denen ₁ und ₂ liegen, gehören also zu demjenigen Strahl, nach dem K₀ Klassenkörper ist. Nach Konstruktion von ₃ gehört ₃ also auch dazu, zerfällt also in K₀ in Primid[eale] ersten Gr[ades]. Folglich gehört ₃ in KK' etwa zu (₁₁)(₂₂) = ₁₂ ^. ₁₂. In K' also zu ₁₂. Da es aber in K' zu ₁₂ gehört und diese ₁,₂ Basiselemente für die Restgruppe nach m sind, muss 1 (mod q₁ - 1) und 1 (mod q₂ - 1) sein. Wegen q₁ 1 (mod f₁) und q₂ 1 (mod f₂) also erst recht 1 (mod f₁),  1 (mod f₂). Nun gehört ₃ in K zu ₁₂, also zu ₁₂. Es lag ₃ in ₁₂, wegen Satz 1 gehört also ₁₂ zu ₁₂.

q.e.d.

Satz 3. Gehört ₁ und ₂ zu , so ist ₁ = ₂.

Beweis: 1.) Gehört ₂^-1 zu , so gehört nach Satz 2 die Klasse ₂₂^-1 = 1 zu . Nun zerfallen aber die Primideale der Hauptklasse und nur diese in Pr[im]id[eale] ersten Grades von K, also ist = 1,   = ^-1.

2.) ₁ ^.₂^-1 gehört zu ^{. -1} = 1, ist also nach dem in 1) gesagten die Hauptklasse.

Damit ist die volle Isomorphie bewiesen.

Nun spezialisiere ich:
Sei k ein Körper, der die m-ten E[inheits]w[urzeln] enthalte (m völlig beliebig).

Man betrachte K = k(). (Es kann angenommen werden dass dies keine kleinere Wurzel schon tut.)

K sei Klassenkörper für [eine] gewisse Klassenteilung. Ist zugeordnet dem , so muss für alle A, insbesondere also für A = gelten:

₁

₂

_r

₁

₂

_r

Kommentare zum Brief Nr.9: