03.11.1926, Noether an Hasse

Inhalt:

Noethers Diskriminantenarbeit. Über symmetrische Funktionen. Folgerungen aus dem Axiom V.

Göttingen, 3. 11. 26

Lieber Herr Hasse!

Ich freue mich sehr daß Sie meine Diskriminantenarbeit¹⁾ mit soviel Interesse und Vergnügen gelesen haben; auch für die - sehr wichtige - Einfügung “und Verknüpfungsbeziehung” ²⁾ besten Dank. Einstweilen hat Grell³⁾ vor, sich an die Verzweigungstheorie⁴⁾ zu machen; mit seiner Normentheorie in beliebigen Ordnungen hat er ja eine gute Vorarbeit dazu⁵⁾; hier gilt meine Vermutung, daß Länge der Kompositionsreihe anstelle des Exponenten tritt. Es scheint aber nicht leicht zu sein, die wirklich naturgemäßen Begriffe zu finden; hat man die erst einmal, so wird die Theorie vermutlich auch durchsichtiger sein als die jetzt bekannte für die Hauptordnung.⁶⁾

Nun zu Ihren Fragen! Bei den symmetrischen Funktionen - der Beweis stammt übrigens von Furtwängler und van der Waerden erzählte ihn mir nur - haben Sie vergessen, a durch a zu ersetzen. Es ist einfach so: Ist S(x₁,...,x_n) symmetrisch, so wird S(x₁,...,x_n-1,0) = G(a₁,...,a_n-1). Ich bilde die symmetrische Funktion H(x₁,...,x_n-1) = S(x₁,...,x_n) -G(a₁,..., a_n-1); es wird H(x₁,...,x_n-1,0) = 0 wegen a_i(x₁,...,x_n-1,0) = a_i; also durch x_n und damit durch a_n teilbar, womit die gewünschte Graderniedrigung gewonnen ist.⁷⁾

Zu Axiom V.⁸⁾ Voraussetzungen und Bezeichnungen: R sei ein den fünf Axiomen genügender Ring, K sein Quotientenkörper; o das Einheitsideal und p ein beliebiges Ideal in R. Weiter bedeute o : p den in K genommenen Quotienten der beiden R-Moduln (Ideale) o und p, also alle Elemente aus K, sodaß p 0 (mod o), also ganz in R. Es gilt also, wenn man alles als R-Moduln in K auffaßt: p ^. (o : p) 0 (mod o) und weiter p 0 (mod p ^. (o : p)); die zweite Bedingung folgt aus o 0 (mod o : p) durch Multiplikation mit p. Da p keinen vom Einheitsideal verschiedenen echten Teiler in R besitzt (Axiom I, II, III), sind also - da p ^. (o : p) in R - nur die beiden Möglichkeiten: p ^. (o : p) = o oder p ^. (o : p) = p. Es ist zu zeigen:

1) Aus p ^. (o : p) = o folgt q = p; ⁹⁾
2) p ^. (o : p) = p ist bei ganzer Abgeschlossenheit ausgeschlossen.

Ad 1) Aus q 0 (mod p) folgt q ^. (o : p) 0 (mod p ^. (o : p)) 0 (mod o), also ganzes Ideal.

Dabei hat der Exponent¹⁰⁾ um genau eine Einheit abgenommen; denn aus p 0 (mod q) folgt p ^. (o : p) = p^-1 0 (mod q ^. (o : p)) und umgekehrt. Es wird also q ^. (o : p) = o, da bei positivem Exponent Teilbarkeit durch p, somit ganzes Ideal vorliegt.¹¹⁾

Anders ausgedrückt: o : p ist das zu p inverse Element p^-1 im Sinn der aus den Idealen gebildeten multiplikativen Gruppe.

Ad 2) Es ist hier zu zeigen: 2_a) Jedes Element von o : p hängt ganz von R ab; 2_b) (o : p) enthält nicht zu R gehörige Elemente; R kann also bei Voraussetzung 2) nicht ganz abgeschlossen sein.

2_a): Üblicher Determinantenschluß: Sei p₁, ..., p_k eine Idealbasis (R-Modulbasis) von p; und ein beliebiges Element aus o : p; dann sagt die Voraussetzung:

2_b) Sei p beliebiges Element aus p; dann gilt für das aus p abgeleitete Hauptideal op nach Axiom I, II, III die Zerlegung in Primärkomponenten op = q ^. a, wo a das Produkt der nicht zu p gehörigen bezeichnet. Sei q vom Exponenten (wegen p 0 (mod p) ist sicher > 0), also p^-1a / 0 (mod op) und somit t ein Element aus p^-1a, für das t / 0 (mod op) gilt.

Das heißt aber, daß t/p nicht zu R gehört; aber aus t 0(p^-1a) folgt tp 0(op) oder t/p 0(o : p), womit das gewünschte Element konstruiert ist.

Hier ist nun wirklich alles auf den Begriff der ganzen Abgeschlossenheit reduziert, und völlig naturgemäß. Zur Umkehrung¹²⁾ geht Krull auf den Quotientenring R_p über, der entsteht, indem man alle zu p primen Elemente in den Nenner aufnimmt. Dieser muß Hauptidealring werden, da es jetzt nur zu p gehörige Primärideale gibt, und kein Ideal zwischen p und p² (Vergl. meine Diskriminantenarbeit, S. 102 oben¹³⁾). Als Hauptidealring ohne Nullteiler ist R_p ganz abgeschlossen; da dies für jedes p gilt, gilt es auch für R. Mir scheint, daß man hier doch meine Schlüsse mit der abelschen Gruppe heranziehen muß; daß die ganzen und gebrochenen Ideale eine Abelsche Gruppe bilden, ist ja durch o : p = p^-1 bewiesen.

Krull hat den Übergang von allen R_p zu R mir nicht mehr geschrieben. Aber man muß doch zeigen, daß bei jeder Darstellung = a/b eines nicht zu R gehörigen Elementes mindestens ein festes p im Nenner auftritt; daß also nicht zu dem betreffenden R_p gehören kann. (Besser ausgedrückt: gehört nicht zu R, so gibt es mindestens ein p, sodaß nicht zu R_p gehört (gilt schon bei Axiom I bis IV, aber komplizierter zu beweisen; Krull baut seine verallgemeinerten p-adischen Zahlen darauf auf). Entschuldigen Sie diesen improvisierten Abschluß!) Immerhin wird auch die Umkehrung kürzer! ¹⁴⁾

Beste Grüße, Ihre Emmy Noether.

Zum improvisierten Schluß! Man beweist den Satz einfach so:

Voraussetzung: Für R gelten Axiome I bis IV; R_p besteht aus allen und nur solchen Quotienten = a/b, wo a und b aus R, für die b / 0(p).

Behauptung: R ist Durchschnitt aller R_p.¹⁵⁾

R ist im Durchschnitt aller R_p enthalten; also nur noch zu zeigen: gehört nicht zu R, so gibt es ein R_p zu dem nicht gehört; d.h. ein p derart daß jeder Nenner von durch p teilbar. (Alle R_p im Quotientenkörper enthalten).

Sei also = a/b = c/d und a in R nicht durch b teilbar. Es wird aber ad in R durch b teilbar. Unter den Primärkomponenten von b = q₁q_t muß mindestens eine sein, etwa q, sodaß a / 0(q); da sonst a durch b - das kleinste gemeinsame Vielfache - teilbar wäre. Aus ad 0(q) und a / 0(q) folgt aber d 0(p) nach Definition des Primärideals. Also tritt sicher p in jedem Nenner auf; gehört nicht zu R_p.

Also auch bei Axiom I bis IV: Ein Element ist dann und nur dann ganz, wenn es an allen endlichen “Stellen” ganz.

[Der folgende Text von Hasses Handschrift auf der Rückseite eines Blattes]

Ausführlicher Beweis zu S. 3 des beiliegenden Briefes.

Behauptung: q = p.

Nach Schluß auf Seite 2 unten ist q(o : p) ganz, primär, zu p, also entweder = o und dann q = p ( = 1) oder p | q(o : p); dann nach Schluß auf Seite 2 unten q(o : p)² ganz, primär, zu p, also entweder = o, dann q = p² oder p | q(o : p)²; dann q(o : p)³ ganz .... Da nicht für beliebig hohes gelten kann: q(o : p)⁺¹ ganz, weil sonst p⁺¹ | q folgte, während doch q | p ist, so muß nach endlich vielen Schritten q = p folgen.
                

¹Emmy Noether hatte ihr Manuskript Noe:1927 zur Diskriminantenarbeit im März 1926 dem Crelleschen Journal zur Publikation eingereicht. Hasse war damals schon Herausgeber des Crelleschen Journals und hat die Noethersche Arbeit offenbar genau durchgesehen. Die Arbeit kann als eine Fortsetzung der großen Arbeit Noe:1926b betrachtet werden, in der sie die heute so genannten Dedekindschen Ringe axiomatisch charakterisiert hatte. (Die Noetherschen Axiome dazu kommen weiter unten in diesem Brief zur Sprache, wurden jedoch schon in der vorangegangenen Postkarte ^* vom 19.1.1925 erwähnt.) In der hier zur Diskussion stehenden Arbeit betrachtet Noether einen Dedekindschen Ring R und eine R-Ordnung T in einem separablen Erweiterungskörper; in dieser Situation werden die Primteiler der (Relativ-)Diskriminante von T|R charakterisiert - in Verallgemeinerung des klassischen Dedekindschen Satzes für Hauptordnungen in Zahlkörpern.

²Noether hatte geschrieben, dass ein Ring durch seine “Gleichheitsbeziehungen” festgelegt sei; dies hatte Hasse ergänzt durch “Gleichheits- und Verknüpfungsbeziehungen”. (Siehe die Zeilen 4 und 5 auf Seite 85 in Noe:1927 .) Das war damals nicht trivial, denn der abstrakte Begriff eines axiomatisch definierten Ringes war erst wenige Jahre zuvor von Emmy Noether eingeführt worden, nämlich in ihrer Arbeit über Ringe mit Maximalbedingung Noe:1921 .

³Heinrich Grell gehörte zu dem engeren Schülerkreis von Emmy Noether. Auf der Jahrestagung der DMV 1930 in Prag trug er über Verzweigungstheorie von Ordnungen vor Gre:1930 , jedoch hat er die Details der dort berichteten Resultate nicht voll publiziert; erst viel später erschien in der Mathematischen Zeitschrift eine Arbeit von ihm zur Verzweigungstheorie der Ordnungen Gre:1936 .

⁴In der Einleitung zu ihrer Arbeit bemerkt Emmy Noether, dass ihr Diskriminantensatz “nur den ersten Satz einer allgemeinen Verzweigungstheorie der Ordnungen darstellen kann”, und sie vergleicht die Situation mit der Hilbertschen Verzweigungstheorie in Zahlkörpern, wo es auf die Verzweigungs-Exponenten der Primideale ankommt. Noether wiederholt in diesem Brief die in der Arbeit aufgestellte Vermutung, dass in der allgemeinen Verzweigungstheorie die Länge an die Stelle des Exponenten treten wird. - Heute würden wir die Ordnung T als den Ring eines “singulären Punktes” einer “arithmetischen Kurve” ansehen, wobei sich die Verzweigungstheorie unterordnet unter den Begriff “Klassifikation der Singularitäten.”

⁵Vgl. Gre:1930a .

⁶Wir sehen hier an einem Beispiel explizit den Noetherschen Leitsatz formuliert, der ihr gesamtes Schaffen durchzieht, nämlich (wie van der Waerden es in seinem Nachruf formuliert hat): “Alle Beziehungen zwischen Zahlen, Funktionen und Operatoren werden erst dann durchsichtig, verallgemeinerungsfähig und wirklich fruchtbar, wenn sie von ihren besonderen Objekten losgelöst und auf begriffliche Zusammenhänge zurückgeführt sind.”

⁷Es handelt sich um ein Detail im Beweis des Hauptsatzes über symmetrische Funktionen. Hasse war damals gerade dabei, den 2. Band seines Göschen-Bändchens “Höhere Algebra” Has:1927b zu schreiben. (Der erste Band Has:1926a war bereits erschienen.) Darin sollte die Galoistheorie behandelt werden, und zwar zum ersten Mal in einem Lehrbuch im Rahmen der abstrakten Körpertheorie nach Steinitz. Wahrscheinlich hatte Hasse zunächst vor, die Galoistheorie unter Benutzung des Hauptsatzes über symmetrische Funktionen aufzubauen, so wie es damals weithin üblich war. Emmy Noether hatte ihm dazu von einem Beweis berichtet, den sie von van der Waerden gehört hatte. Hasse hatte ihr nun offenbar eine Ausarbeitung dieses Beweises geschickt, und in dem Brief gibt sie kritische Kommentare dazu. Gleichzeitig macht sie ihn darauf aufmerksam, dass dieser Beweis nicht von van der Waerden, sondern von Furtwängler stammt.

Wie wir aus der Korrespondenz Hasse-Furtwängler entnehmen konnten, hat sich Hasse daraufhin an Furtwängler gewandt und um die Erlaubnis gebeten, jenen Beweis in sein Buch aufzunehmen. Dieser antwortete in einem Brief vom 9. Nov. 1926: “Sehr geehrter Herr Hasse! Ich bin gerne damit einverstanden, dass Sie meinen Beweis in Ihr Buch aufnehmen. Da ich auch noch einige andere Dinge anders behandle als es gewöhnlich geschieht, gebe ich kurz an, wie ich diesen Abschnitt meiner Algebravorlesung erledige ...”

In der publizierten Version von Hasses Buch wird jedoch der Satz von den symmetrischen Funktionen beim Aufbau der Galoistheorie ausdrücklich vermieden; er wird zwar formuliert aber für seinen Beweis wird auf Band 3 verwiesen. (Ein dritter Band ist allerdings niemals erschienen). Hasse erwähnt dort ausdrücklich, dass jener Beweis von Furtwängler stammt, wie es Emmy Noether in diesem Brief berichtet. - Vgl. dazu auch die Anmerkungen zu der folgenden Postkarte ^* vom 10. 11. 26.

⁸Es handelt sich um das fünfte “Innsbrucker Axiom” Noethers. Die anderen Axiome I-IV besagen in heutiger Terminologie, dass die folgenden Bedingungen (i) und (ii) für R erfüllt sind; das Noethersche Axiom V besagt die Ganzabgeschlossenheit, also (iii):

Im Grunde ist der Beweis dafür bereits in der Noetherschen Arbeit Noe:1926a enthalten; diese Arbeit war zum Zeitpunkt der Abfassung des vorliegenden Briefes schon erschienen. Noether hätte also einfach auf ihre Arbeit verweisen können. Dass sie es nicht tut, hat seinen Grund darin, dass der jetzt vorliegende Beweis einfacher ist, offenbar zurückgehend auf eine Idee von Krull, der ja weiter unten im Brief auch zitiert wird. Die dazugehörige Krullsche Arbeit Kru:1928 war damals noch nicht erschienen. Anscheinend hatte Hasse von der Krullschen Vereinfachung gehört und hatte Noether gebeten, ihm diese zu erläutern.

Die Noetherschen Ausführungen in diesem Brief sind im wesentlichen dieselben wie bei Krull Kru:1928 , außer dass Krull sofort zu dem Quotientenring R_p in Bezug auf ein Primideal p übergeht, während Noether diese Quotientenring-Methode zunächst nicht benutzt; erst am Schluss spricht Noether vom Quotientenring und verweist dazu auf Krull. Offenbar war damals der Übergang von einem Ring zu einem Quotientenring noch nicht so geläufig wie heute; das entnimmt man auch der Tatsache, dass Noether ihrem Schüler Heinrich Grell die Aufgabe gestellt hatte, die idealtheoretische Situation bei einem solchen Übergang systematisch darzustellen; vgl. Gre:1927 .

Diese Briefstelle ist also so zu verstehen, dass Noether ihren Briefpartner Hasse auf Anfrage über den neuesten Stand der Entwicklungen bei Dedekindschen Ringen informieren möchte.

Im Zusammenhang damit erscheint die folgende Äußerung von van der Waerden interessant, welche die damalige Situation widerspiegelt. In vdW:1975 berichtet er über die Quellen seines Buches “Moderne Algebra.” Er hatte die Noethersche Theorie der Dedekind-Ringe in den Band 2 aufgenommen (der 1931 in erster Auflage erschienen war) und sagt darüber: “Emmy Noether’s proofs were simplified, making use of ideas of Krull contained in §3 of Krull’s paper Kru:1928 . Emmy Noether was a referee for this paper, and she told Artin about it. Artin simplified Krull’s proof and presented it in a seminar in Hamburg, in which I participated. Artin’s simplified proof was reproduced in §100.” (Hier bezieht er sich auf §100 der ersten Auflage der “Modernen Algebra”.)

Demnach finden wir in diesem Brief ein Zwischenstadium des Beweises, zwischen der Krullschen und der Artinschen Vereinfachung, welch letztere dann Eingang in die van der Waerdensche Algebra gefunden hat.

⁹Hierbei bedeutet q ein beliebiges zu p gehöriges Primärideal.

¹⁰Da q als Primärideal zu p vorausgesetzt wird, so gibt es ein > 0 derart, dass p 0 mod q ; das kleinste solche nennt Noether “den Exponenten” von q.

¹¹Randbemerkung von der Hand Hasses: “Siehe ausführlich auf der Rückseite des beiliegenden Blattes.” Wir geben die auf der Rückseite befindlichen Ausführungen Hasses am Schluss dieses Briefes wieder.

¹²Die “Umkehrung”, die Noether hier beweist, besagt folgendes: Wenn für einen Integritätsbereich R jedes Ideal 0 eindeutig als Produkt von Primidealpotenzen darstellbar ist, dann ist R ganzabgeschlssen.

¹³Auf Seite 102 oben der Diskriminantenarbeit Noe:1927 findet sich der Satz: Besitzt ein Multiplikationsring H nur ein vom Null- und Einheitsideal verschiedenes Primideal, so wird H Hauptidealring. Dabei versteht Noether unter “Multiplikationsring” einen Integritätsbereich, in dem die von 0 verschiedenen Ideale bei der Ideal-Multiplikation eine Gruppe bilden; heute spricht man von einem “Dedekindschen Ring”. Übrigens hatte Noether denselben Satz schon in der vorangegangenen Postkarte ^* vom 19. 1. 1925 behandelt; anscheinend erinnert sie sich nicht mehr daran.

¹⁴Noether meint “kürzer als in meiner Arbeit Noe:1926a ”.

¹⁵Heute wissen wir, dass diese Durchschnittsrelation für jeden Integritätsbereich R und seine Quotientenringe R_p zutrifft, wenn p die maximalen Ideale von R durchläuft.