Lieber Herr Hasse!
Ich danke Ihnen für Ihren lieben Brief mit der Einladung, nach Pfingsten nach Marburg zu kommen. Da möchte ich zunächst fragen, ob sich die Sache nicht am Ende der Pfingstwoche machen lässt? Dass ich etwa am Sonnabend nach Pfingsten hinkomme. Mein Kolleg fängt erst am Dienstag wieder an, so dass sich vielleicht am Montag auch Zeit für einen Vortrag finden liesse. Eventuell könnte ich auch Dienstag hier noch ausfallen lassen, wenn ich auch lieber keine Stunde verlieren möchte.
Eine weitere Frage ist die, was soll ich Ihnen denn erzählen? Ich habe absolut nichts Neues! Das hätte ich Ihnen ja schon geschrieben. Was meinen Sie also?
Eine Kleinigkeit möchte ich Ihnen noch erzählen die mich sehr erstaunt hat, mit der ich aber bis jetzt weiter nichts anfangen kann. Es gibt relativ unverzweigte Ikosaederkörper und zwar sind sie sogar sehr häufig unverzweigt. Ich kenne diesen Umstand schon seit Ende des vorigen Semesters und habe auch sehr viel numerisch gerechnet, bin aber auf keinen Anhaltspunkt für die Zerlegungsgesetze gekommen. Das Beispiel ist das folgende:93
Die Gleichung 5-ten Grades x5 = x + 1 hat keinen Affekt. Der zugehörige
galois’sche Körper K über R vom Grade 120 ist nun unverzweigt in bezug auf den
darin enthaltenen quadratischen Unterkörper 
=R(
) und die Gruppe
natürlich die Ikosaedergruppe. Legt man also den quadratischen Körper als
Grundkörper zugrunde, so sind die Führer alle = 1, es werden also in den
Zerlegungsgesetzen vermutlich keine Kongruenzen auftreten. Damit ist eine kleine
Vereinfachung für das Aufsuchen der Gesetze gegeben, die man vielleicht
ausnützen kann.
An zahlentheoretischen Daten die bei diesem Körper interessieren könnten,
kann ich Ihnen noch folgendes mitteilen: Der quadratische Körper hat die
Klassenzahl 1. Wegen der unendlichen Primstellen gibt es aber noch den einen
relativ quadratischen Klassenkörper (
), da 2869 = 19 . 151 ist. Der
so entstehende Körper hat die Klassenzahl 7, es gibt also ausser dem
Ikosaederkörper noch einen relativ unverzweigten Körper vom Grade 14 über dem
quadratischen.
Sei ferner k der Körper 5-ten Grades über R. Seine Diskriminante ist 2869, seine Minimalbasis besteht aus den Potenzen der Gleichungswurzel. Die Klassenzahl dieses Körpers ist auch 1. Seine Grundeinheiten sind die Gleichungswurzel x und 1 - x2.
Endlich habe ich noch die Primzahlen bis 311 im Körper k in Primideale zerlegt, womit ihre Zerlegung auch im Körper K gewonnen ist. Ich hatte die Hoffnung, dass man nach Erraten eines Zerlegungsgesetzes hier eine numerische Prüfung haben würde. Leider ist mir aber nichts eingefallen.
Dass es überhaupt einen unverzweigten, nicht metazyklischen Körper gibt, hätte ich vorher nicht geglaubt. Vielleicht können Sie etwas mit diesen Dingen anfangen.
Dass ich gerne am Ende der Pfingstwoche hinkommen würde hat seinen Grund darin, dass wir in der Pfingstwoche gerne eine Wanderung unternehmen wollen und dabei vermutlich in Ihre Gegend gelangen werden.
Mit den besten Grüssen auch von meiner Frau und an Ihre Frau Gemahlin
Ihr Artin
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