Geometrische Gruppentheorie
Wintersemester 2019/2020

Vorlesung

• Mo 11:15-13:00 Uhr, SR C
• Mi 16:15-18:00 Uhr, SR C

Übungsbetrieb

• Mi 9:00-11:00 Uhr, SR B Ab 23.10

Müsli

Bitte, melden Sie sich bei MÜSLI an.

Kontakt

• Dozent: JProf. Dr. Beatrice Pozzetti

• Tutor: Johannes Horn

• Tutor: Marta Magnani

Sprechzeiten

	Termin	Ort
JProf. Dr. Beatrice Pozzetti	(Termine werden noch ergänzt.)	Raum 3.312, INF 205

Übungsblätter

Die Übungsblätter werden wöchentlich auf dieser Homepage veröffentlicht. Jedes zweite Übungsblatt wird korregiert. Studenten können die Übungen alleine oder in Zweiergruppen bearbeiten und nach einer Woche bei den Briefkästen abgeben. Bewertungen der Zettel werden bei MÜSLI veröffentlicht. Um zur Prüfung zugelassen zu werden, muss ein Student mindestens 50% der zu erreichenden Punkte auf den Übungsblättern erreicht haben.

	Übungsblatt	Abgabe
17.10.2019	Blatt 1 Gruppen als Symmetrien	25.10.2019
23.10.2019	Blatt 2 Cayleygraphen	--
31.10.2019	Blatt 3 Wirkungen auf Bäumen	08.11.2019
07.11.2019	Blatt 4 Präsentierungen, Pingpong	--
14.11.2019	Blatt 5 Quasi-Isometrien	22.11.2019
21.11.2019	Blatt 6 Milnor Svarc	--
28.11.2019	Blatt 7 Geometrische Eigenschaften	06.12.2019
06.12.2019	Blatt 8 hyperbolische Gruppen	--
12.12.2019	Blatt 9 Kegeltypen	20.12.2019
19.12.2019	Blatt 10 Die erste Grigorchuk-Gruppe	--
07.01.2020	Quiz 1	--
09.01.2020	Blatt 11 Ränder hyperbolischer Gruppen	17.01.2020
15.01.2020	Blatt 12 Gruppen-Wachstum	--
23.01.2020	Quiz 2	--

Prüfung

Es wird am Ende des Kurses (Ende Januar oder Anfang Februar) eine mundliche Prüfung geben, der genaue Termin wird so bald wie möglich festgelegt. Studenten können sich für die Prüfung im MÜSLI anmelden. Um zur Prüfung zugelassen zu werden, muss ein Student mindestens 50% der zu erreichenden Punkte auf den Übungsblättern erreicht haben. Die erste Frage der Prüfung ist eine der Übungsaufgaben.

Inhalt

Die geometrische Gruppentheorie beschäftigt sich mit dem Zusammenhang zwischen Gruppenwirkungen auf geometrischen Objekten und algebraischen Eigenschaften der Gruppe. In der Vorlesung werden endlich erzeugte Gruppen betrachtet. Einer endlich erzeugten Gruppe kann man einen Graphen, den sogenannten Cayley-Graphen zuordnen, auf dem die Gruppe wirkt. Aus dem Studium dieses Graphen lassen sich interessante Eigenschaften der Gruppe zeigen. Im Zentrum der Vorlesung werden freie Gruppen und hyperbolische Gruppen stehen. Die Methoden sind sowohl geometrischer als auch algebraischer Natur.

Woche	Thema	Literatur
Woche 1	Gruppen, Wirkungen, Graphen	Ka. 2.1, 3.1
Woche 2	Cayleygraphen, Freie Gruppen	Ka. 3.2, 3.3
Woche 3	Ping Pong Lemma, freie Wirkungen auf Bäumen	Ka. 4.2, 4.3
Woche 4	Nielsen-Schreier, Präsentierungen, Coxetergruppen	Ka. 4.2.3, 2.2.4
Woche 5	Quasi-Isometrien	Ka. 5.1, 5.2
Woche 6	Milnor Svarc	Ka. 5.3, 5.4
Woche 7	Endlich präsentiert zu sein ist geometrisch, hyperbolische Räumen	Ka. 5.5.1, [BH, Prop. 8.24 p. 143], 7.2.1
Woche 8	Hyperbolizität ist geometrisch, hyperbolische Gruppen sind endlich präsentiert	Ka. 7.2, 7.3, [BH, Prop. 2.2 p. 448]
Woche 9	Kegeltypen, Zentralizatoren in hyperbolischen Gruppen	Ka. 7.5, [BH, Prop. 3.20 p. 467]
Woche 10	Das Wortproblem, Dehn-Funktion, small cancellation	Ka. 7.4, [BH, Ch III.H.2], [Si, Ch. 9]
Woche 11	Ränder hyperbolischer Gruppen	Ka. 8.3
Woche 12	Tits Alternative, Gruppen-Wachstum	Ka. 8.3.4, 6.1, 6.2
Woche 13	Polynomielles Wachstum, polyzyklische Gruppen, Satz von Gromov, Satz von Wolf	Ka. 6.3, [DK, 13.5-6, 14.1]

Literatur

• C. Löh, Geometric group theory, an introduction.
• [BH] Bridson-Haefliger, Metric spaces of non-positive curvature.
• [DK] Drutu-Kapovich, Lectures on Geometric Group Theory.
• P. de la Harpe, Topics in Geometric Group Theory.
• J.-P. Serre. Trees.
• B. Bowditch, A course on geometric group theory.
• A. Sisto, Lecture notes on Geometric Group Theory.