Spezialvorlesung im WS 2014/15:

Auflösung von Singularitäten

Zeit: Mo 14:00-16:00
Ort: INF 288, MathI HS 3

Inhalt:

Die Auflösung von Singularitäten in Charakteristik 0 ist eine der wichtigsten Techniken der algebraischen Geometrie. Der Beweis von Hironaka, für den dieser 1970 die Fields-Medaille erhielt, umfasst über 200 Seiten und galt zudem als technisch und kompliziert. In der neueren Zeit wurde der Beweis aber von verschiedenen Autoren deutlich vereinfacht. In dieser Vorlesung soll eine sehr elegante und kurze Version des Beweises nach Wlodarczyk und Kollar vorgestellt werden.
Wir werden dazu zunächst einer kurze Einführung in die Thematik liefern und elementare Techniken der algebraischen Geometrie, wie etwa Aufblasungen und die Theorie der Multiplizitäten, wiederholen. Als nächster werden wir den Fall von eingebetteten Kurven und Flächen betrachten, um ein Gefühl für die Methode der Auflösung von Singularitäten zu erlangen. Danach behandeln wir den allgemeinen Fall. Je nach verbleibender Zeit werden wir auch Phänomene in Charakteristik p > 0 und Alterationen besprechen.

Literatur:

  • S.D. Cutkosky: Resolution of Singularities
  • H. Hauser et al. (eds.): Resolution of Singularities
  • H. Hironaka: Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero, Ann. Math. 79 (1964), 109–326
  • A. J. de Jong: Smoothness, semi-stability and alterations, Publ. Math. IHÉS 83 (1996), 51–93
  • J. Kollár: Lectures on Resolution of Singularities
  • J. Wlodarczyk: Simple Hironaka resolution in characteristic zero, J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), no. 4, 779–822.

Software:

  • Flächen und ihre Singularitäten lassen sich durch das Programm Surfer hervorragend darstellen. Mittels Parametrisierung lassen sich so auch höherdimensionale Varietäten besser vorstellen.
  • Das Computeralgebrasystem Sage ist eine der Anlaufstellen schlechthin für Berechnungen in der algebraischen Geometrie. Die nebenstehende Abbildung wurde mittels Sage erstellt. Mit dem enthaltenen Programmpaket Singular kann man sogar Singularitäten auflösen, auch wenn die Ausgabe nicht leicht zu lesen ist.

Voraussetzungen:

Algebraische Geometrie im Umfang von Hartshorne, Algebraic Geometry, 1. & 2. Kapitel.

Zielgruppe:

Studierende der Mathematik ab dem 5. Semester

Übungsblätter:

Blow-up of a cusp