ARNOLD SCHOLZ ZUM GEDÄCHTNIS

OLGA TAUSSKY-TODD

(Eingegangen am 20. 2. 1951)

I.

Der Zahlentheoretiker Arnold Scholz wurde am 24. Dezember 1904 in Berlin-Charlottenburg geboren. Sein Vater, Professor Dr. Reinhold Scholz, war selbst Physiker und Mathematiker und wirkte als Abteilungsvorstand am Militär-Versuchsamt. Seine Schuljahre (1911–1923) verbrachte er auf der Vorschule und später am Kaiserin-Augusta-Gymnasium in Charlottenburg. Einer seiner Mathematiklehrer war der Algebraiker und Zahlentheoretiker F. Neiss. Sein großes Interesse für Musik reicht bis in seine Schuljahre zurück; er lernte frühzeitig Klavier und Geige spielen. Seine Lieblingskomponisten wurden später Schubert und Beethoven. Es wunderte ihn oft, daß er trotz seines großen Verständnisses für Musik keine schöpferische Begabung dafür hatte – diese war wohl ganz der Mathematik vorbehalten.

Seine Studienzeit begann 1923 an der Universität in Berlin, wo er das große Glück hatte, unter Issai Schur zu studieren.

Außer den Vorlesungen in Mathematik hörte er auch Musikwissenschaft und Philosophie und promovierte (magna cum laude) im Jahre 1928, nachdem er im Jahre 1927 ein Semester an der Wiener Universität unter Ph. Furtwängler gearbeitet hatte. Noch in seiner Studentenzeit erhielt er eine Anstellung als Assistent an der Berliner Universität, die er bald nach seiner Promotion aufgab, um 1930 eine Privatdozentur in Freiburg anzutreten. Im Jahre 1935 ging er von Freiburg nach Kiel, wo er einen Lehrauftrag erhielt und zum Mitglied der Prüfungskommission ernannt wurde. Dann kam der Krieg; im Jahre 1940 wurde er zum Kriegsdienst eingezogen und 1941 als Mathematiklehrer an die Marineakademie in Flensburg-Mürwick berufen. Hier erkrankte er plötzlich an Diabetes, der am 1. Februar 1942 einen tödlichen Ausgang nahm. Er wurde dort auf dem Marinefriedhof (Friedenshügel) begraben.

So einfach es ist, Scholz’ Lebensgeschichte niederzuschreiben, so schwer ist es, einen Begriff von seiner eigenartigen Persönlichkeit zu geben. Von Kopf bis Fuß ein mathematischer Gelehrter, nicht nur ein hochbegabter Mathematiker, fühlte er sich in den entlegensten Gebieten der mathematischen Gedankenwelt zu Hause. Einerseits war er fähig, vollkommen abstrakte Probleme zu behandeln, und zwar nicht nur Probleme der abstrakten Algebra, insbesondere der abstrakten Gruppentheorie, sondern sogar auch Probleme der mathematischen Logik. Während seiner Freiburger Jahre sah er häufig Zermelo und interessierte sich sehr für die philosophischen Probleme, zu denen dieser ihn anregte. Anderseits war er der geborene Zahlentheoretiker, der mit Begeisterung komplizierte numerische Beispiele ausrechnete. Es gibt nur wenige Mathematiker, die das gerne tun, und fast keine, die es zu tun verstehen. Die Zahlentheorie hat an diesem Mann ungeheuer viel verloren. Er hoffte, daß mit der Zeit mehr Tabellen, die sich mit algebraischen Zahlkörpern befassen, veröffentlicht würden. Dies wurde seither teilweise von Hasse im Falle kubischer Zahlkörper durchgeführt.

Er benutzte weniger moderne abstrakte Algebra als andere. Ich weiß, daß Emmy Noether versuchte, ihn für ihr Lager zu gewinnen. Er arbeitete mit ihr bis zu ihrem Tode, und ich glaube, daß es ihr gelungen wäre, hätte sie länger gelebt. Anderseits gelang es ihm, ihr die Schönheit und Bedeutung von Zahlenbeispielen nahezubringen, und das war wohl ein großer Erfolg, wenn man bedenkt, was für ein Anwalt des abstrakten Denkens sie war.

Seine Arbeiten sind sehr tiefgründig und manchmal nicht leicht zu lesen. Sein Stil ist gehaltreich und poetisch. Schur bemerkte zu einer seiner ersten Arbeiten: “Mehr Landau, weniger Goethe!” Er empfand große Genugtuung in der Erfindung seiner eigenen Symbole und Bezeichnungen. Ja, man kann sagen, daß er seine eigene mathematische Sprache schuf. Des Wertes seiner Ergebnisse gewiß, hoffte er, daß die anderen seine Sprache lernen und seine Arbeiten “übersetzen” würden. Er hielt eine umfangreiche Korrespondenz mit seinen Kollegen aufrecht, in der sich oft die Entfaltung seiner Ideen verfolgen läßt.

Menschlich war er sehr schüchtern, naiv und schweigsam, aber er konnte sich auch charakterfest und mutig zeigen, wenn es galt, seinen Freunden zur Seite zu stehen. Und er wußte ohne Zweifel, wo seine Pflicht lag.

Religion und Kunst jeder Art spielte eine wichtige Rolle in seinem in erster Linie intellektuellen Dingen gewidmeten Leben. Unter den wenigen Zerstreuungen, die er sich gönnte, stand Reisen und Bergsteigen obenan. Seine Freunde scherzten oft über seine Weinkennerschaft und die Preise, die er bei verschiedenen Wettbewerben im Weinkosten davongetragen hatte. Mit Stolz pflegte er zu erzählen, daß einmal ein Gastwirt seinen Rat in Anspruch nahm, bevor er Neubestellungen machte.

Eine der schönsten Seiten seines Lebens war die warme Freundschaft zwischen Scholz und seiner Schwester, Frau Elisabeth Korrodi. Ich entsinne mich ihrer als einer anziehenden, eleganten Erscheinung, voller Leben und Temperament.Auf den ersten Blick war keine Ähnlichkeit zwischen den beiden zu bemerken, erst bei näherer Bekanntschaft wurde man ihrer gewahr. Gegenseitiges Verständnis und Gefühlsverbundenheit zwischen ihnen waren vollkommen. Auch seinem kleinen Neffen Niki war er sehr zugetan.

Ich bin Scholz’ Schwester vielen Dank für ihre Hilfe bei diesem Nachruf schuldig.

II.

Arnold Scholz arbeitete vor allem in algebraischer Zahlentheorie, insbesondere Klassenkörpertheorie. In den meisten seiner Veröffentlichungen spielt jedoch die Gruppentheorie eine große Rolle und ist schwer von der Zahlentheorie zu trennen. Obwohl die Gruppentheorie für ihn nur als Werkzeug diente – nur zwei seiner Arbeiten [9, 13]^{1} befassen sich mit Gruppentheorie allein – während die Zahlentheorie der Hauptzweck war, kann man doch seine neuen Definitionen, Ideen und Ergebnisse in der Gruppentheorie als sehr gewichtig bezeichnen.

Die algebraische Zahlentheorie ist heutzutage sehr stark von dem Verlangen nach abstrakten Erklärungen der bereits erhaltenen Ergebnisse überschattet. Trotzdem faszinierende Zusammenhänge in dieser Weise enthüllt werden, ist die Arbeit von Gelehrten wie Scholz für den weiteren Fortschritt der Zahlentheorie unentbehrlich. Er verstand es, die Ergebnisse der Zahlentheorie zu verwerten, um eine tiefere Einsicht in die elementare und algebraische Zahlentheorie zu erzielen. Dies ist schon aus einigen Einzelergebnissen ersichtlich, wie z.B. aus seiner Arbeit [15] und auch aus [11], wo er die 3-Klassenzahl der durch \sqrt{d} und \sqrt{−3d} erzeugten quadratischen Körper vergleicht. Aber auch seine Hauptergebnisse können als eine Anwendung der Ergebnisse der Klassenkörpertheorie bezeichnet werden.

1Zahlen in eckigen Klammern verweisen auf das Schriftenverzeichnis am Ende.

Der Gegenstand seiner Doktordissertation wurde die Grundlage für sein bedeutendstes Ergebnis, nämlich die Konstruktion der Körper mit vorgegebener p-Gruppe (p ungerade) als Galoisscher Gruppe in bezug auf einen beliebigen Grundkörper [20]. Wegen der früheren Resultate von Scholz folgt daraus die Konstruktion aller Körper mit vorgegebener zweistufiger Galoisscher Gruppe von ungerader Ordnung in bezug auf einen willkürlichen Grundkörper. Mit gruppentheoretischen Überlegungen konnte er nämlich zeigen, daß die Konstruktion solcher Körper auf die folgenden zwei Fälle zurückgeführt werden kann [3]:

1. Die Konstruktion der Körper mit einer “Dispositionsgruppe” als Galoisscher Gruppe. Die Dispositionsgruppen bilden eine umfangreiche Klasse von Gruppen, welche alle Gruppen mit quadratfreier Ordnung umfaßt. In diesen Gruppen wird die ganze abelsche Kommutatorgruppe von den Elementen S^{−1}AS erzeugt, wobei A ein Element der Kommutatorgruppe ist und die S ein Repräsentantensystem der Faktorgruppe nach der Kommutatorgruppe durchlaufen. Für diese Körper hatte Scholz die Konstruktion durchgeführt [2].

2. Die Konstruktion der Körper, deren Galoissche Gruppe eine p-Gruppe ist. Für diesen Fall erzielte er die Konstruktion erst viel später mit Hilfe eines wichtigen Einbettungssatzes, der von H. Richter^{2} stammte. Vorerst kamen noch einige weitere Untersuchungen [10], [14], die sich teilweise auf die Ergebnisse von N. Cebotareff^{3} stützten.

Kurz nachdem Scholz seine Konstruktion erzielt hatte, wurde diese auch von H. Reichardt^{4} in einer anderen Weise durchgeführt; auch T. Tannaka^{5} löste dieselbe Frage. Bedeutende gruppentheoretische Ergebnisse wurden als ein Nebenprodukt erzielt; diese befaßten sich vor allem mit der Struktur aller endlichen p-Gruppen mit n Erzeugenden. Er benützte die Dimensionsreihen von W. Magnus^{6} und bestätigte in einem Spezialfall die Magnussche Vermutung, daß dieselben mit der unteren Zentralreihe übereinstimmen. Außerdem führte er eine neue Begriffsbildung ein, die von großer Bedeutung für die Gruppentheorie ist und die ihn noch später viel beschäftigte: die “Durchkreuzung”, insbesondere die abelsche Durchkreuzung [23, 24]. Es ist sehr wahrscheinlich, daß dieser Begriff für weitere Arbeiten verwendet werden kann. Er kann entweder gruppentheoretisch oder körpertheoretisch formuliert werden. Einige weitere neue Definitionen müssen vorausgeschickt werden. Eine Gruppe L heißt Aufspaltung der Gruppe K, wenn ein Normalteiler M von L existiert, für den K = L/M gilt. Wenn M im Zentrum vom L liegt, heißt die Aufspaltung zentral; wenn M in der Kommutatorgruppe enthalten ist, heißt sie eine Kommutatoraufspaltung. Schon früher [2] hatte Scholz relative Produkte eingeführt. Diese werden nun in einem spezialisierten Sinne benützt; das relative Produkt G ∘ H ist die kleinste gemeinsame Aufspaltung von G und H mit gemeinsamer Faktorgruppe. Mit G ⌢ H ist die größte gemeinsame Faktorgruppe bezeichnet. Wenn nun die Relationen K ∘ S = L ∘ S und K ⌢ S = L ⌢ S gleichzeitig bestehen, dann sind K und L mit S durchkreuzt; wenn S abelsch ist, liegt der Fall der “abelschen Durchkreuzung” vor. Zwei Gruppen mit gemeinsamer abelscher Aufspaltung zählen zu demselben “Geschlecht”, solche mit abelscher Durchkreuzung zu derselben “Klasse”. Scholz beschrieb eine Methode, alle Gruppen einer Klasse aus der Kenntnis einer einzigen zu bestimmen; ferner ermittelte er die Anzahl der Gruppen, die zu einer Klasse gehören. Er stellte einen Zusammenhang seiner neuen Ideen mit der Darstellungstheorie auf und verknüpfte sie auch mit einigen Begriffsbildungen, die von P. Hall stammen.

2H. Richter, Über die Lösbarkeit einiger nichtabelscher Einbettungsprobleme. Math. Ann., Berlin 112, 69–84 (1935).

3N. Cebotareff, Zur Gruppentheorie des Klassenkörpers. J. reine angew. Math. 161, 179–193 (1929).

4H. Reichardt, Konstruktion von Zahlkörpern mit gegebener Galoisgruppe von Primzahlpotenzordnung. J. reine angew. Math. 177, 1–5 (1937).

5T. Tannaka, Über die Konstruktion der Galoisschen Köprer mit vorgegebener p-Gruppe. Tôhoku math. J. 43, 252–260 (1937).

6W. Magnus, Beziehung zwischen Gruppen und Idealen in einem speziellen Ring. Math. Ann., Berlin 11, 259–280 (1935).

Zu der Zeit, da Scholz seine Doktordissertation schrieb, war das Studium der zweistufigen Gruppen recht modern. Um diese Zeit fand Ph. Furtwängler^{7} seinen Beweis für den Hauptidealsatz, indem er ein Theorem über zweistufige Gruppen bewies, das E. Artin^{8} als eine Verallgemeinerung des Hauptidealsatzes entdeckt hatte. Der Hauptidealsatz ist eine berühmte Vermutung von Hilbert, die damals zum ersten Male bewiesen wurde. Dieser Satz befaßt sich mit dem absoluten Klassenkörper, nämlich dem größten abelschen Erweiterungskörper eines algebraischen Zahlkörpers, der zugleich die Relativdiskriminante 1 hat. Er sagt aus, daß alle Ideale des Grundkörpers in diesem Erweiterungskörper zu Hauptidealen werden. Der zweite Klassenkörper, nämlich der Klassenkörper des Klassenkörpers, hat eine zweistufige Gruppe als Galoissche Gruppe. Es war Artins Idee, diesen zweiten Klassenkörper heranzuziehen, und keine wesentlich verschiedene Beweisidee ist je entdeckt worden. Kurz zuvor hatte Artin das allgemeine Reziprozitätsgesetz bewiesen, aus dem sich eine explizite Formulierung des Isomorphismus ergibt, der zwischen der Klassengruppe des Grundkörpers und der Relativgruppe des absoluten Klassenkörpers besteht. Dies ermöglichte die gruppentheoretische Formulierung des Hauptidealsatzes. Die Idee Artins und die Beweismethode, die Furtwängler entwickelte, beeinflußten Scholz sehr stark.

Die Erwartung, daß die neuen gruppentheoretischen Methoden zu vielen Verallgemeinerungen des Hauptidealsatzes führen würden, wurde bald enttäuscht. Einerseits waren die Schwierigkeiten des bei den Beweisen auftretenden gruppentheoretischen Problems oft unüberbrückbar. Anderseits — selbst wenn ein Beweis möglich war — war die Frage offen, ob die spezielle Gruppe, die betrachtet worden war, auch einem speziellen numerischen Fall entsprach. Das waren nun gerade die geeigneten Probleme für Scholz, und auf diese Fragenkreise geht auch meine persönliche Bekanntschaft mit ihm zurück. In meiner eigenen Doktordissertation^{9} stieß ich auf die Gruppe der Ordnung 27 mit den beiden Erzeugenden S_{1}, S_{2} und den Relationen S_{1}^{3} = S_{1}^{−1}S_{2}^{−1}S_{1}S_{2} = S_{2}^{−1}S_{1}^{3}S_{2} und S_{1}^{9} = 1, S_{2}^{3} = 1. Falls diese Gruppe die Galoissche Gruppe eines zweiten Klassenkörpers ist, gibt es eine unter den Klassen des Grundkörpers, die in keinem relativ-kubischen und unverzweigten Erweiterungskörper zur Hauptklasse wird. Scholz teilte mir bald mit, daß ein solcher Grundkörper existiere, und zwar einer der kubischen Teilkörper des Produktkörpers K_{19}^{3}K_{1129}^{3}, wobei K_{p}^{l} (p, l Primzahlen) den Unterkörper vom Grad l des von den p-ten Einheitswurzeln erzeugten Körpers bedeutet.

7Ph. Furtwängler, Beweis des Hauptidealsatzes. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 7, 14–36 (1929).

8E. Artin, Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz. Abh. Math. Sem. Univ.

Hamburg 7, 46–51 (1929).

9O. Taussky, Über eine Verschärfung des Hauptidealsatzes für algebraische Zahlkörper. J. reine angew. Math. 168, 193–210 (1932).

Es war auch bemerkt worden, daß der von \sqrt{−65} erzeugte Körper einen zyklischen unverzweigten Erweiterungskörper vom Relativgrad 4 hat, in dem eine nicht-zyklische (aber keine zyklische) Untergruppe der Klassengruppe der Ordnung 4 zur Hauptklasse wird. Die Frage, ob dieses Phänomen auch für 3-Gruppen auftreten kann, schien interessant, da ja die Primzahl 2 oft eine Ausnahmerolle spielt. Wir beschlossen, eine gemeinsame Arbeit über diese Frage zu schreiben [17]. Wir untersuchten u.a. den durch \sqrt{−3299} erzeugten Körper, der eine nicht-zyklische 2-Klassengruppe der Ordnung 27 hat. Scholz fand eine Methode, mit Hilfe rationaler Zahlen allein zu entscheiden, ob eine Klasse des Grundkörpers in einem unverzweigten relativ-kubischen Erweiterungskörper in die Hauptklasse übergeht. Es stellte sich dann heraus, daß in diesem Spezialfall kein unverzweigter relativ-zyklischer Erweiterungskörper vom Relativgrad 9 die Eigenschaft hat, daß in ihm eine zyklische Untergruppe der Ordnung 9 der Klassengruppe des Grundkörpers zur Hauptklasse wird. Jedoch tritt dieses Phänomen in gewisser Hinsicht anders auf als im Falle \sqrt{−65}. Hasses Untersuchungen über kubische Körper waren für diese Arbeit recht nutzreich, und im Anschluß daran schrieb Scholz auch eine Arbeit über kubische Körper [12]. Er studierte nämlich den Zusammenhang zwischen den Einheiten und der Klassengruppe ein einem nicht-abelschen normalen Körper K_{6} vom Grad 6 im Vergleich mit den entsprechenden Verhältnissen in dem quadratischen Unterkörper K_{2} und einem der kubischen Unterkörper K_{3}. Durch gruppentheoretische Überlegungen konnte er zeigen, daß der Klassenzahlquotient h_{2}h_{3}^{2}/h_{6} eine Potenz von 3 ist; welche Potenz, hängt dann von den Einheiten ab. Die Untersuchung des Falles, wo K_{6} unverzweigt über K_{2} ist, führte zu Ergebnissen bezüglich des zweiten Klassenkörpers von K_{2}. Insbesondere zeigte er, daß nicht jede zweistufige Gruppe als Galoissche Gruppe des zweiten Klassenkörpers von K_{2} auftreten kann.

Nachdem unser Ziel erreicht war, studierten wir auch die Galoissche Gruppe des zweiten 3-Klassenkörpers der Körper, die wir untersucht hatten. In diesen Spezialfällen konnte dies ohne die Kenntnis der Klassengruppe des ersten Klassenkörpers durchgeführt werden. Wir benützten nur das Verhalten der Klassen des Grundkörpers in den unverzweigten kubischen Erweiterungen. Diese Untersuchungen brachten viel Einsicht nicht nur in die zweistufigen 3-Gruppen, sondern auch in allgemeine 3-Gruppen. Manche Ergebnisse fanden sich dabei für Klassenkörpertürme (Ketten von aufeinanderfolgenden Klassenkörpern). Es ist nicht bekannt, ob diese Ketten nach einer endlichen Anzahl von Schritten abbrechen. Das folgende gruppentheoretische Problem ergab sich dabei und wurde teilweise von Magnus^{10} gelöst: G_{1} sei eine vorgegebene p-Gruppe; gibt es dann eine unendliche Kette von p-Gruppen G_{i}, für die G_{i} = G_{i+1}/G_{i+1}^{(i)} gilt, wobei G_{i+1}^{(i)} abelsch ist? dabei bedeutet G^{(i)} die i-te Kommutatorgruppe der Gruppe G. Magnus bewies, daß beliebig lange Ketten auftreten können. Eine negative Lösung des gruppentheoretischen Problems würde bedeuten, daß unendliche p-Klassenkörpertürme nicht auftreten können. Scholz glaubte jedoch nicht, daß die gruppentheoretische Seite des Problems die entscheidende war. Er hatte sich schon früher mit Klassenkörpertürmen [5] befaßt und bewiesen, daß beliebig lange auftreten können. Gleichzeitig konstruierte er eine umfangreiche Schar von Körpern mit der Klassenzahl 1.

10W. Magnus, a.a.O. S. 382, Fußn. 1.

Zwei seiner Arbeiten [19, 25] befassen sich mit einem Problem, das auf Hilbert zurückgeht und früher von H. Hasse^{11} behandelt wurde. Hilbert hatte nämlich bewiesen, daß in Galoisschen Erweiterungen von Primzahlgrad ein totaler Normenrest immer eine Norm ist. Hasse verallgemeinerte dies für beliebige zyklische Erweiterungen, bewies jedoch anderseits, daß dieser Sachverhalt in nicht-zyklischen Körpern im allgemeinen nicht besteht. Scholz führte einen neuen Begriff ein, um den Defekt zu messen, nämlich die multiplikative Faktorgruppe der totalen Normenreste über der Gruppe der Normen. Er nannte sie den “Knoten”. Manchmal haben die Einheiten ihren eigenen Knoten, in andern Fällen kann es eintreten, daß eine Einheit, die totaler Normenrest ist, die Norm einer Zahl, aber nicht einer Einheit ist. Manchmal können es nur Einheiten sein, die totale Normenreste sind, ohne Normen zu sein.

Er studierte die verschiedenen Fälle, die auftreten können, an Zahlenbeispielen. Er verknüpfte den Begriff des Knotens mit der Galoisschen Gruppe der Klassenkörper des vorgegebenen Körpers. Mit Hilfe dieser Idee konnte er beweisen, daß der Knoten ein homomorphes Bild des Schurschen Multiplikators der Galoisschen Gruppe ist. Für jede beliebige vorgegebene Gruppe kann man Fälle finden, wo der Multiplikator zu dem Knoten isomorph ist. Wenn die Gruppe den Multiplikator 1 hat, tritt kein Knoten auf. Auch die abelsche Durchkreuzung ist mit diesen Arbeiten verknüpft. Kürzlich hob A. Weil^{12} hervor, wie wichtig es sei, Normenreste in nicht-zyklischen Erweiterungen zu studieren.

Scholz schrieb verschiedene weitere Beiträge zur algebraischen Zahlentheorie. Eine seiner ersten Arbeiten [10] enthält eine Anzahl von einfachen Beweisen für einige der grundlegenden Ergebnisse der Klassenkörpertheorie, darunter auch den Cebotareffschen Dichtigkeitssatz. Viele seiner Arbeiten sprudeln von neuen Ideen, die einen bleibenden Beitrag zur Zahlentheorie darstellen. Eine seiner Untersuchungen führte ihn auf den Zusammenhang zwischen Idealtheorie und Galoisscher Theorie in unendlichen algebraischen Zahlkörpern [26]. Die Ergebnisse von W. Krull^{13} auf diesem Gebiet in Verbindung mit topologischen Ideen sind heute wohlbekannt, und weitere bedeutende Resultate waren von andern inzwischen erzielt worden. Scholz fand eine neuartige und teilweise allgemeinere Darstellung dieser Theorie, indem er alles auf Galoissche Körper zurückführte. Er erhält die Zerlegung in Primideale in nicht-galoisschen Körpern mit Hilfe des Dedekindschen Satzes über die Zerlegung in Teilkörpern. Dieser Satz gilt nämlich auch für unendliche Körper. Er bemerkte, daß auch in unendlichen Galoisschen Körpern alle Primidealteiler einer Primzahl zueinander konjugiert sein müssen. Er erläuterte die Hilbertsche Theorie in unendlichen Galoisschen Körpern mit Hilfe einer großen Anzahl von interessanten Beispielen, die vor allem den größten abelschen Körper, den Körper aller Einheitswurzeln, betreffen.

11H. Hasse, Beweis eines Satzes und Widerlegung einer Vermutung über das allgemeine Normenrestsymbol, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, math.-phys. Kl. 1931 64–69.

12A. Weil, L’avenir des mathématiques. Les grands courants de la pensée mathématique. Marseille 1948.

13W. Krull, Idealtheorie in unendlichen algebraischen Zahlkörpern. I, II. Math. Z., Berlin 29, 42–54 (1928); 31, 527–557 (1930).

Scholz veröffentlichte manche seiner Ideen als “Aufgaben” im Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Sie waren oft tief und hätten für Abhandlungen verwendet werden können. Er schrieb viele Referate für das Jahrbuch der Fortschritte der Mathematik. Im Jahre 1939 veröffentlichte er ein Göschen-Bändchen [22] über “Elementare Zahlentheorie”, das sehr originell ist und viel benutzt wird.

Er unternahm es, einen Artikel über “Spezielle Zahlkörper” [27] für die Neuauflage von Band I der Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften zu schreiben. Das war natürlich ein Gebiet, für das er einzigartig geeignet war. Ein großer Teil des Artikels ist vollendet.

Literatur

[1] (mit H. Hasse), Zur Klassenkörpertheorie auf Takagischer Grundlage, Math. Z. 29 (1928), 60–69 [2] Über die Bildung algebraischer Zahlkörper mit auflösbarer Galoisscher Gruppe, Math. Z. 30 (1929),

332–356

[3] Reduktion der Konstruktion von Körpern mit zweistufiger (metabelscher) Gruppe, Sitz.ber. Heidelberger Akad. Wiss. 1929, Nr. 14, 3–15

[4] Anwendung der Klassenkörpertheorie auf die Konstruktion von Körpern mit vorgeschriebener Gruppe, Jber. DMV 38 (1929), 46

[5] Zwei Bemerkungen zum Klassenkörperturm, J. Reine Angew. Math. 161 (1929), 201–207

[6] Zur simultanen Approximation von Irrationalzahlen, Math. Ann. 102 (1930), 48–51

[7] Über das Verhältnis von Idealklassen- und Einheitengruppe in Abelschen Körpern von Primzahlpotenzgrad, Sitz.ber. Heidelberger Akad. Wiss. 1930, Nr. 3, 31–55

[8] Zermelos neue Theorie der Mengenbereiche, Jber. DMV 40 (1931), 42–43

[9] Ein Beitrag zur Theorie der Zusammensetzung endlicher Gruppen, Math. Z. 32 (1931), 187–189 [10] Die Abgrenzungssätze für Kreiskörper und Klassenkörper, S.ber. Akad. Wiss. Berlin 1931, 417–426;

FdM 57 I (1931), 206; Zbl 2.12201

[11] Über die Beziehung der Klassenzahlen quadratischer Körper zueinander, J. Reine Angew. Math. 166 (1932), 201–203; FdM 58 I (1932), 181; Zbl 4.05104

[12] Idealklassen und Einheiten in zyklischen Körpern, Monatsh. Math. Phys. 40 (1933), 211–222; FdM 59 I (1933), 194–195; Zbl 7.00301

[13] Die Behandlung der zweistufigen Gruppe als Operatorengruppe, Sitzungsber. Heidelberg. Akad. Wiss. 1933, No.2, 17–22; Zbl 7.05302

[14] Die Kreisklassenkörper von Primzahlpotenzgrad und die Konstruktion von Körpern mit vorgegebener zweistufiger Gruppe I, Math. Ann. 109 (1933), 161–190; FdM 59 I (1933), 191–192; Zbl 8.10303

[15] Über die Lösbarkeit der Gleichung t^{2} − Du^{2} = −4, Math. Z. 39 (1934), 95–111; FdM 60 I (1934), 126–127; Zbl 9.29402

[16] Berichtigung zu der Arbeit: “Die Kreisklassenkörper von Primzahlpotenzgrad und die Konstruktion von Körpern mit vorgegebener zweistufiger Gruppe I”, Math. Ann. 109 (1934), 764; FdM 60 II (1934), 933; Zbl 9.00505

[17] (mit O. Taussky), Die Hauptideale der kubischen Klassenkörper imaginärquadratischer Zahlkörper: ihre rechnerische Bestimmung und ihr Einfluss auf den Klassenkörperturm, J. Reine Angew. Math. 171 (1934), 19–41; FdM 60 I (1934), 126; Zbl 9.10202

[18] Die Kreisklassenkörper vom Primzahlpotenzgrad und die Konstruktion von Körpern mit vorgegebener zweistufiger Gruppe II, Math. Ann. 110 (1935), 633–649; Zbl 10.33706

[19] Totale Normenreste, die keine Normen sind, als Erzeuger nicht-abelscher Körpererweiterungen I, J. Reine Angew. Math. 175 (1936), 100–107; Zbl 14.00608

[20] Konstruktion algebraischer Zahlkörper mit beliebiger Gruppe von Primzahlpotenzordnung I, Math. Z. 42 (1937), 161–188; Zbl 16.00602

[21] Minimaldiskriminanten algebraischer Zahlkörper, J. Reine Angew. Math. 179 (1938), 16–21; Zbl 19.04903 [22] Einführung in die Zahlentheorie, Sammlung Goeschen. 1131) Berlin: de Gruyter 136 S. (1939), ZBL

22.11101; 2. Aufl. 136 S. (1945); Zbl 61.06410; 2. Aufl. überarb. v. B. Schöneberg, 128 S. (1955); Zbl 67.02002; 5. Aufl. überarb. und herausgegeben von B. Schöneberg, 128 S. (1973); Zbl 248.10001

[23] Abelsche Durchkreuzung, Monatsh. Math. Phys. 48 (1939), 340–352; Zbl 23.21101

[24] Zur Abelschen Durchkreuzung, J. Reine Angew. Math. 182 (1940), 216; Zbl 23.21201

[25] Totale Normenreste, die keine Normen sind, als Erzeuger nicht-abelscher Körpererweiterungen II, J. Reine Angew. Math. 182 (1940), 217–234; Zbl 23.29203

[26] Zur Idealtheorie in unendlichen algebraischen Zahlkörpern, J. Reine Angew. Math. 185 (1943), 113–126; Zbl 28.20201

[27] Spezielle Zahlkörper, Bestimmt für: Enzykl. math. Wiss. 2. Aufl. I (unvollendet)