ZUR ABELSCHEN DURCHKREUZUNG

ARNOLD SCHOLZ

Die in meiner Abhandlung “Abelsche Durchkreuzung” (Furtwängler-Festband der Monatsh. f. Math. u. Phys.) definierten Begriffe Gruppengeschlecht und Klasse verwandter Gruppen stimmen mit den Hallschen Begriffen family und branch genau überein, falls der Multiplikator 𝔐 meiner Aufspaltung 𝔏 = 𝔎 ⌣ 𝔐 von 𝔎 das volle Zentrum von 𝔏 wird. Die bei mir entstehende Begriffserweiterung ist vomn Standpunkt der abstrakten Gruppentheorie unwesentlich, besteht nur in gewissen Unterteilungen der families und branches und wird erst sinnvoll, wenn 𝔎 als konkrete Gruppe, etwa Galoisgruppe, gegeben ist. Die bei mir mittels Abelscher Durchkreuzung definierte Klasse kann man bei endlichen Gruppen natürlich auch durch Zusammenfassung der Gruppen gleicher Ordnung eines Geschlechts definieren. Den minimal branches entsprechen die nach dem Konstruktionsbeweis meines Satzes 5, in dessen Formulierung zu wenig gesagt ist, existierenden Knotungen; es gilt danach der

Satz. Jedes Geschlecht zentraler Aufspaltungen enthält genau eine Klasse von Knotungen (Minimalklasse des Geschlechts). Die Ableitungsanteile aller Multiplikatoren des Geschlechts sind also, weil untereinander isomorph, zum Darstellungsmultiplikator isomorph.

(In (4) muß dabei ≃ statt = stehen.)

Der Beweis des für Satz 5 nötigen Satzes 3 geht einfacher: Es brauchte nur die Existenz eines Abelschen 𝔄 ⌣ 𝔅 ⌣ ℭ bewiesen zu werden. Sind nun A_{1}, …, A_{r}; B_{1}, …, B_{s}; C_{1}, …, C_{t} Basen für 𝔄, 𝔅, ℭ und a_{1} bis c_{t} die Ordnungen der Basiselemente, so bestehen in 𝔄 ⌣ 𝔅 Relationen

A_{i}^{a_{i}} = F_{i}(B_{j}); B_{i}^{b_{i}} = 1 und B_{i}^{b_{i}} = G_{i}(C_{j}); C_{i}^{c_{i}} = 1

in 𝔅 ⌣ ℭ. Sodann ist

{A_{1}, …, A_{r}; B_{1}, …, B_{s}; C_{1}, …, C_{t}} mit A_{i}^{a_{i}} = F_{i}(B_{j}); B_{i}^{b_{i}} = G_{i}(C_{j}); C_{i}^{c_{i}} = 1

eine Gruppe 𝔄 ⌣ 𝔅 ⌣ ℭ; denn da in 𝔄 ⌣ 𝔅 nichts konjugiert ist, entstehen in ℭ keine Ordnungsbeschränkungen, und jedes Element in 𝔄 ⌣ 𝔅 ⌣ ℭ ist eindeutig darstellbar als Produkt der A_{1} bis C_{t} mit nichtnegativen Exponenten < a_{i}, b_{j}, c_{k}.

Der Beweis der Beschränktheit der Knotungen für Satz 4 wurde unter Verwendung der Abelschen Durchkreuzung von Abelschen auf zyklische Multiplikatoren zurückgeführt und für diese wie üblich durch monomiale Darstellungen bewiesen. Einen dem körpertheoretischen Standpunkt angepaßten einfacheren Beweis erhält man mit der Verlagerung:

Ist ℌ = 𝔊 ⌣ ℭ mit ℭ = {C} und 𝔊 = ∑_{i=1}^{n} S_{i}, so ist die Verlagerung

V_{ℌ→𝔊}(C) = C^{∑ S_{i}} = C^{n},

falls C im Zentrum liegt, aber = 1 für C ⊂ ℌ′, also ℭ^{n} = 1, wenn beides einteritt (Verlagerung eindeutig mod ℭ′ = 1!)

Eingegangen 2. September 1939.