AUFGABE 222

Lösung der Aufgabe 222. (Dieser Jahresbericht Bd. 46 (1936), S. 45.)

Die Aufgabe lautete:

Es sei K = K_{1} × K_{2} direktes Produkt zweier zyklischer Körper mit der Gruppe {S}×{T }. Dann läßt sich jedes α der Eigenschaft α^{(S−1)(T −1)} = 1 in der Form α = α_{1}·α_{2} mit α_{1} in K_{1}, α_{2} in K_{2} darstellen. (Bei nichtdirektem Produkt K läßt sich das Resultat verschärfen; es kommt auch nichtabelsches K in Frage.)

Kiel-Kitzeberg Arnold Scholz.

(Eingegangen am 14. 3. 1936.)

L ö s u n g.

Ich beweise: K = K_{1} × K_{2} sei direktes Produkt zweier Galoisscher Körper K_{1} und K_{2} über k. 𝔊_{1} bzw. 𝔊_{2} sei die Galoissche Gruppe von K_{1} bzw. K_{2}. Weiter sei 𝔊_{1} bzw. 𝔊_{2} von einer Elementenmenge 𝔐_{1} (⊆ 𝔊_{1}) bzw. 𝔐_{2} (⊆ 𝔊_{2}) erzeugt. Dann läßt sich jedes α in K mit α^{(S−1)(T −1)} = 1 für jedes S ∈ 𝔐_{1}, T ∈ 𝔐_{2} in der Form α = α_{1} · α_{2} mit α_{1} in K_{1}, α_{2} in K_{2} darstellen.

B e w e i s. Zunächst sieht man leicht, daß α^{(S−1)(T −1)} = 1 für jedes S ∈ 𝔊_{1}, T ∈ 𝔊_{2} gilt, wenn für S ∈ 𝔐_{1}, T ∈ 𝔐_{2}. Also gilt α^{S−1} ∈ K_{1} bzw. α^{T −1} ∈ K_{2} für jedes S ∈ 𝔊_{1} bzw. T ∈ 𝔊_{2}. Setzt man ρ_{S} = α^{S−1}, so gilt ρ_{S}^{S′}ρ_{S′}/ρ_{SS′} = 1 für jedes S, S′ ∈ 𝔊_{1}. Nach dem Satz von Transformationsgrößen (auf K_{1}/k angewendet) gibt es also ein β in K_{1} mit β^{S−1} = ρ_{S} = α^{S−1} für jedes S ∈ 𝔊_{1}. Analog zeigt man die Existenz eines Elementes γ in K_{2} mit γ^{T −1} = α^{T −1} für jedes T ∈ 𝔊_{2}. Dann ist (βγα^{−1})^{S−1} = 1 bzw. (βγα^{−1})^{T −1} = 1 für jedes S ∈ 𝔊_{1} bzw. T ∈ 𝔊_{2}. Daher βγα^{−1} ∈ K_{1}, K_{2}, also ∈ k. Setzt man etwa α_{1} = β und α_{2} = γ/βγα^{−1}, so ist α = α_{1} · α_{2}; α_{1} in K_{1}, α_{2} in K_{2}, w. z. b. w.

(Bei nichtdirektem Kompositum K = K_{1}K_{2} hat man nur k′ = K_{1} ∩ K_{2} an die Stelle von k, und die Galoissche Gruppe von K_{1}/k′ bzw. K_{2}/k′ an die Stelle von 𝔊_{1} bzw. 𝔊_{2} zu setzen.)

Osaka (Japan). Tadasi Nakayama.

(Eingegangen am 15. 11. 1936.)