AUFGABE 207

207. Gegeben sei eine Menge 𝔐 natürlicher Zahlen m_{1} < m_{2} < m_{3} < … mit der natürlichen Dichte

lim_{n→∞} \frac{n}{m_{n}} = h.

Man bilde die Menge 𝔓 = {p} aller m_{1}-, m_{2}-, m_{3}-, … stelligen Zahlen (etwa im Zehnersystem), die offenbar keine natürliche Dichte besitzt. Sie besitzt aber, soll gezeigt werden, die D i r i c h l e t-Dichte

lim_{s→1}(s − 1) ∑_{𝔓}p^{−s} = h.

Die Iteration dieser konvergenzvernichtenden Transformation 𝔐 ⟶ 𝔓 liefert auch keine D i r i c h l e t-Dichte mehr; sondern die Existenz der natürlichen Dichte für 𝔐 ist notwendig für die Existenz der D i r i c h l e t-Dichte bei 𝔓.

Kiel-Kitzeberg. Arnold Scholz.

(Eingegangen am 26. 9. 1935.)