AUFGABE 195

195. (Im Anschluß an die H a s s e sche Aufgabe 169).

Zu zeigen, daß sich ein zyklischer Körper K_{m}/k vom Grade l^{m} (l Primzahl) dann und nur dann in einen zyklischen Körper K_{n}/k vom Grade l^{n} (m < n) einbetten läßt, wenn sich die Einteilung Z_{m} der teilerfremden Zahlrestklassen mod 𝔣, dem Führer von K_{m}/k, nach den k_{m} zugeordneten Zahlrestklassen in eine zyklische Einteilung Z_{n} von der Relativordnung l^{n−m} aufspalten läßt. – Hierzu ist insbesondere notwendig, daß K_{m}/k relativreell ist und jeder zu l prime Teiler 𝔭 des Führers eine Norm ≡ 1 mod l^{n−m(𝔭)} hat, wenn 𝔭 grade im Unterkörper l^{m(𝔭)}-ten Grades von K_{m} noch unverzweigt ist. Hinreichend sind diese Bedingungen sicher, wenn 𝔣 höchstens einen Primteiler von l enthält.

Dann und nur dann, wenn der l-Teil des Körpers der l^{n}-ten Einheitswurzeln in k liegt, ist jeder K_{m} zu einem K_{n} erweiterbar.

Kiel. Arnold Scholz.

(Eingegangen am 9. 1. 1935.)

Berichtigung zur Lösung von Aufgabe 169 und zu Aufgabe 195.

Auf S. 37 dieses Bandes, Z. 7 - 4 v. u. wurde bei der Betrachtung der hinreichenden Bedingungen für die Einbettbarkeit eines vorgegebenen K_{1} in einen K_{n} (zyklischen Körper l^{n}-ten Grades über gegebenem Grundkörper k) ein Zahlcharakter gebildet, der nicht immer eine Realisierung als Restcharakter nach einem Modul 𝔮 zuläßt: soll es einen Moduk 𝔮 in k geben, für den die Zahlen α_{1}, …, α_{r} aus k beliebig vorgeschriebene l^{a}-te Potenzrestcharaktere annehmen, so müssen nämlich die α_{1}, …, α_{r} nicht nur in k, sondern auch in k(ζ_{a}) – also bei Adjunktion der l^{a}-ten Einheitswurzeln – noch l^{a}-unabhängig sein, m.a.W.: es müssen die Körper k(ζ_{a}), k( \sqrt[l^{a}]{α_{ρ}})_{ρ=1,... ,r} voneinander unabhängig sein. Mein Beweis ist daher nur unter der Einschränkung richtig, daß k(\sqrt[l]{ε_{1}} , …, \sqrt[l]{ε_{r}} , \sqrt[l]{ρ_{1}} , …, \sqrt[l]{ρ_{σ}}) keinen höheren Teilkörper der l^{n−1}-ten Einheitswurzeln enthält als k; jedenfalls noch, wenn k die l-ten Einheitswurzeln nicht enthält.

Tatsächlich gibt es nun für l = 2 – wegen Nichtzyklizität von Körpern 2^{a}-ter Einheitswurzeln – auch Scharen von Grundkörpern k, bei denen die von mir angegebenen Bedingungen nicht mehr ausreichen, um einen quadratischen Körper über k zu einem zyklischen Körper sechzehnten Grades zu erweitern. Dies zeigte mir freundlicherweise Herr H. R i c h t e r durch das Beispiel k = (\sqrt{34} ) an, bei dem nämlich durch \sqrt{ε} der Teilkörper (\sqrt{2} ) der achten Einheitswurzeln adjungiert wird, der für die Bildung von K_{1} noch keine Restcharakterrolle spielt.

Die Behauptung der Aufgabe 195 ist dann nur unter entsprechender Einschränkung richtig, und es muß der letzte Satz des ersten Absatzes gestrichen werden, wie mir Herr R i c h t e r ebenfalls mitteilte. Hingegen bleiben die Behauptungen des zweiten Absatzes bestehen.

Wie die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Einbettbarkeit eines K_{m} in einen K_{n} allgemein lauten, wird Herr R i c h t e r in einer ausführlichen Arbeit bringen, deren Hauptergebnisse in der in diesem Bande des Jahresberichts S. 235 f. veröffentlichten Voranzeige angegeben sind.

Kiel-Kitzeberg. Arnold Scholz.

(Eingegangen am 14. 6. 1935.)