AUFGABE 194

194. Nicht kommutative Gruppen ungrader Primzahlpotenzordnung l^{3} gibt es bekanntlich nur zwei: eine Gruppe 𝔖, deren Elemente S alle der Gleichung S^{l} = 1 genügen, und eine Gruppe 𝔗, bei der die Elemente S dieser Eigenschaft eine Untergruppe der Ordnung l^{2} bilden, während die übrigen Elemente T die Ordnung l^{2} haben. — Nun seien K_{1} und K_{2} die zyklischen Unterkörper l-ten Grades der p-ten und q-ten Einheitswurzeln, p und q Primzahlen ≡ 1 mod l, aber p ≢ 1 mod l^{2} und l-ter Nichtrest mod q, während q ein l-ter Rest von p sei. Dann gibt es, wie gezeigt werden soll, stets einen K_{1} und K_{2} enthaltenden Körper mit der Gruppe 𝔗.

Kiel. Arnold Scholz.

(Eingegangen am 29. 10. 1934.)

L ö s u n g:

1. In K_{1} ist nur (q) kritisch, (p) bleibt Primideal wegen p ≢ a^{l} mod q. In K_{1} wird nu (p) kritisch, (q) zerfällt. Die Idealgruppe H′ von K_{1}K_{2}/K_{2} hat den Führer (p) und enthält 𝔮.

2. Da nur eine Primzahl kritisch ist, hat K_{2} eine zu l prime Klassenzahl (vgl. z.B. Crelle 161, S. 205). Entsprechende Klasseneinteilung der Hauptideale charakterisiert mithin jede Idealgruppe in K_{2} von einem Index l^{n}, insbesondere die l-ten Potenzreste nach (p) die Gruppe H′.

3. Die l^{2}-ten Potenzreste mod (p) geben in K_{2} wegen ϕ(p) = p^{l} ≡ 1 mod l^{2} eine Untergruppe der (multiplikativen) Gruppe der zu p primen Zahlen mit zyklischer Faktorgruppe der Ordnung l^{2}.

4. Diese Untergruppe enthält alle Einheiten.

B e w e i s : Wegen 1. und 2. ist (q) = (κ)^{l}. Mit S = (\frac{K_{2}}{p} ) [A r t i n -Symbol] ist ε = κ^{S−1} Einheit, nicht S − 1-te Einheitspotenz (sonst wäre κη mit η als Einheit rational), somit Fundamentaleinheit nach S in K_{2}, endlich wegen κ ≡ a^{l} (p) — (κ) liegt in H′ —, d.h. ε = κ^{S−1} ≡ κ^{p−1} ≡ a^{l(p−1)} (p) l^{2}-ter Potenzrest mod (p).

5. Wegen 3., 4. charakterisieren die l^{2}-ten Potenzreste mod (p) eine Untergruppe H von H′. Mit 𝔧 als Gesamtgruppe der zu p primen Ideale ist 𝔧/H zyklisch der Ordnung l^{2}. Der zu H gehörige Körper K erfüllt K > K_{1}K_{2}, K/K_{2} zyklisch der Ordnung l^{2}.

6. S läßt H invariant, d.h. K ist absolut-galoissch, führt dagegen die Nebenklasse αH von 𝔧/H für einen l-ten Nichtrest α von (p) in α^{S}H = α^{p}H über. Genau für p ≢ 1 mod l^{2} ist dies ≠ αH, d.h. K nicht abelsch. Die Gruppe ist dann 𝔗. 𝔖 ist wegen K/K_{2} zyklisch ausgeschlossen.

B e m e r k u n g :

Bei vorgegebenem l und p ≡ 1 (l), ≢ 1 (l^{2}) gibt es unzählig viele q mit den Voraussetzungen der Aufgabe. [Nach dem Primzahlsatz gibt es bei gegebenem l unendlich viele p.]

Mit k als natürlichem Zahlkörper, ζ als primitiver l-ter Einheitswurzel, λ = 1 − ζ, L = k(ζ) gibt es nach dem erweiterten Primzahlsatz unzählig viele Hauptprimideale ersten Grades (θ) in L mit θ ≡ 1 (λ), ≢ 1 (l^{2}), θ Rest von p.

Da nach H a s s e

(\frac{p}{θ})(\frac{θ}{p})^{−1} = ζ^{S( \frac{p−1}{l} \frac{θ−1}{l})}

mit S als Absolutspur ist, folgt wegen (\frac{θ}{p}) = 1 leicht (\frac{p}{θ}) ≠ 1. Die Bedingung p ≢ 1 (l^{2}) ist bei dieser Schlußweise wichtig. p ist somit l-ter Nichtrest von θ, mithin von q = N(θ). Mit s als erzeugender Substitution von L/k gibt θ ≡ α^{l} (p) [α in L] θ^{s} ≡ (α^{s})^{l} (p), daraus leicht q ≡ [N(α)]^{l} (p), d.h. q Rest von (p).

Wien. L. Holzer.

(Eingegangen am 1. 7. 1936)

Herr L. H o l z e r sandte noch eine weitere Lösung ein.