ZWEI BEMERKUNGEN ZUM KLASSENKÖRPERTURM

ARNOLD SCHOLZ

1. Es ist eine bekannte, von F u r t w ä n g l e r aufgeworfene Frage, ob es unendliche Klassenkörpertürme gibt, d. h. eine Kette von Körpern : K < K^{(1)} < K^{(2)} < …, in der jeder Körper der absolute Klassenkörper des vorangehenden ist, und die dadurch unendlich wird, daß kein Körper der Kette die Klassenzahl 1 besitzt.

Ebenso wie dieser ‘vollständige Klassenkörperturm’ interessiert der ‘Klassenkörperturm in bezug auf eine Primzahl l’: Hier ist die Kette: K < K_{(1)} < K_{(2)} < … so bestimmt, daß K_{(n)} Klassenkörper zur Gruppe derjenigen Ideale 𝔧 aus K_{(n−1)} ist, für die eine Relation: 𝔧^{r} = (α) mit (r, l) = 1; α < K_{(n−1)} besteht. Man nimmt also jedesmal nur die Teile des absoluten Klassenkörpers, deren Relativgrad eine Potenz von l ist. Es ist leicht einzusehen, daß für die Körper der beiden Ketten die Relation: K_{(n)} < K_{(n)} gilt. Ist also der vollständige Turm endlich, so auch der Turm in bezug auf l.

Hier soll gezeigt werden, daß man den Grundkörper K so wählen kann, daß die Kette: K < K_{(1)} < K_{(2)} < … frühestens bei K_{(n)} abbricht, daß also noch K_{(n)} ≠ K_{(n−1)}. Erst recht bricht dann die Kette: K < K^{(1)} < K^{(2)} < … frühestens bei K^{(n)} ab. Denn in beiden Ketten: K_{ν} = K^{(ν)} bzw. K_{(ν)} (ν = 0, 1, 2, …) ist jedesmal K_{ν+1}/K_{ν} der maximale Abelsche Unterkörper von K_{n}/K_{ν} (n > ν), da K_{ν+1}/K_{ν} unverzweigt und relativ-reell,^{1} ebenfalls dann K_{n}/K_{ν}, und umgekehrt jeder unverzweigte und relativ-reelle Abelsche Körper K′_{ν}/K_{ν} (überhaupt, bzw. von Primzahlpotenzgrad l^{m}) im Klassenkörper K_{ν+1}/K_{ν} enthalten ist. Aus der maximal-Abelschen Kette (K^{(ν)}) von K^{(n)}/K erhält man aber die maximal-Abelschen Kette (K_{(ν)}) von K_{(n)}/K, indem man den Durchschnitt von K_{(n)} mit jedem K^{(ν)} bildet. Wenn also noch K_{(n)} ≠ K_{(n−1)}, ist auch K^{(n)} ≠ K^{(n−1)}.

Wenn ein Körper K_{n}/K tatsächlich erst in n Abelschen Schritten erreichbar ist, nennen wir ihn und seine Gruppe n-stufig.

Um einen wenigsten n-stufigen Turm: K < K_{(1)} < K_{(2)} < … zu bekommen, werden wir den Körper K so wählen: Bezeichnet K_{p}^{l} den Unterkörper l-ten Grades des Körpers der p-ten Einheitswurzeln, (p eine Primzahl der Form lx + 1), so sei K ein Produkt: K = K_{p_{1}}^{l}K_{p_{2}}^{l} ⋯ K_{p_{n+1}}^{l}, und die Primzahlen p_{ν} ≡ 1 (l) (ν = 1, …, n + 1) der Reihe nach so bestimmt:

p_{1} wähle man beliebig und p_{2} (≠ p_{1}) so, daß p_{2} = N(𝔭_{2}) in K_{p_{1}}^{l} = K_{1} und alle Einheiten von K_{1} l-te Potenzreste mod 𝔭_{2} werden (also auch alle mod p_{2}), und bilde dann den Klassenkörper K_{2} zu der Idealgruppe H in K_{1}, deren Ideale 𝔧 einer Kongruenz genügen:

𝔧^{r} ≡ α^{l} (mod p_{2}); (r, l) = 1; α < K_{1}.

So fahre man fort, für ν = 3, …, n + 1 Primzahlen p_{ν} und Klassenkörper K_{ν}/K_{ν−1} aufzustellen, nach der entsprechenden Vorschrift: Es soll p_{ν} in K_{ν−1} voll zerfallen: p_{ν} = N(𝔭_{ν}), und jede Einheit in K_{ν−1} l-ter Potenzrest mod 𝔭_{ν} sein. K_{ν} soll der Klassenkörper zur Idealgruppe H > 𝔧 in K_{ν−1} sein mit:

1K′/K heißt relativ-reell, wenn jedem reellen absolut-konjugierten Körper zu K lauter reelle konjugierte Körper zu K′ entsprechen.

𝔧^{r} ≡ α^{l} (mod p_{ν}); (r, l) = 1; α < K_{ν−1}.

Der Grad von K_{n+1} ist eine Potenz von l, ebenso die Dichte l^{−s} der passenden Primzahlkombinationen: p_{1}, p_{2}, …, p_{n+1} unter allen Kombinationen mit p_{ν} ≡ 1 (l). Je-

des K_{ν} ist absoluter Normalkörper. K_{n+1} enthält den Körper K = ∏_{ν=1}^{n+1} K_{p_{ν}}^{l}; denn zu

K_{ν−1}K_{p_{ν}}^{l}/K_{ν−1} gehört die Idealgruppe H_{0} > 𝔧_{0} in K_{ν−1} mit N(𝔧_{0}) ≡ a^{l} (p_{ν}); a rational. Diese Normbedingung erfüllen aber auch die Ideale 𝔧 < H; also H < H_{0}: K_{ν} > K_{p_{ν}}^{l}. Weiter ist K_{n+1} unverzweigt über K; denn K und K_{n+1} haben beide die Differente: (p_{1}p_{2} ⋯ p_{n+1})^{1−1/l}, weil p_{ν}^{1−1/l} die Differente von K_{p_{1}}^{l} ⋯ K_{p_{ν−1}}^{l}K_{p_{ν}}^{l}/K_{p_{1}}^{l} ⋯ K_{p_{ν−1}}^{l} wie von K_{ν}/K_{ν−1} ist. K_{n+1} ist auch reell, sobald K(K_{1}) reell ist. Und da K_{n+1} schon von K_{1} aus in n Abelschen Schritten erreichbar ist, so ist K_{n+1} sicher im n-ten Klassenkörper K_{(n)} des Turms von K enthalten. Wenn man nun zeigt, daß K_{n+1} wirklich (n + 1)-stufig ist, so ist K_{n+1}/K sicher noch n-stufig, da K Abelsch ist, und daher kann K_{n+1} im Körper K_{(n−1)} des Turms von K nicht enthalten sein; also K_{(n)} ≠ K_{(n−1)}.

Daß K_{n+1} (n + 1)-stufig ist, kann man nun so folgern: Seien 𝔊_{1}, 𝔊_{2}, …, 𝔊_{n+1} = 𝔊 die Galoisschen Gruppen von K_{1}, K_{2}, …, K_{n+1} (eine Faktorgruppenfolge), und sei α_{ν} eine Zahl aus K_{ν−1} (ν = 1, …, n + 1), die l-ter Nichtrest nach 𝔭_{ν}, aber l-ter Rest nach allen übrigen Konjugierten 𝔭_{ν}^{T} (T < 𝔊_{ν−1}) ist, so daß sich jede Zahl aus K_{ν−1} darstellen läßt:

γ ≡ α_{ν}^{F (T)}β^{l} (mod p_{ν}),

wo F (T) eine mod l eindeutig bestimmte Linearverbindung von Gruppenelementen T < 𝔊_{ν−1} ist, also dem aus 𝔊_{ν−1} gebildeten Ring ℜ_{ν−1} angehört. Zwei mod l inkongruente F (T) bestimmen zugleich zwei verschiedene Idealklassen von K_{ν}/K_{ν−1}, da alle Einheiten l-te Potenzreste mod p_{ν} sind. Ist nun ℭ_{ν} die Gruppe von K_{ν}/K_{ν−1} und \overline{S}_{ν} < ℭ_{ν} die Substitution, die zur Klasse von α_{ν} (dem allgemeinen Reziprozitätsgesetz zufolge) gehört, also allgemein α_{ν}^{F (T)} → \overline{S}_{ν}^{F (T)}, so bilden die \overline{S}_{ν}^{T} (T < 𝔊_{ν−1}) eine u n a b h ä n g i g e Basis für die Untergruppe der \overline{S}_{ν}^{F (T)} von ℭ_{ν}. (\overline{S}_{ν}^{T} bedeutet die Transformation T′^{−1}\overline{S}_{ν}T′ von \overline{S}_{ν} mit einem Element T′ < 𝔊_{ν}, für das T′ℭ_{ν} = T gilt; sie ist nur von der Nebengruppe nach ℭ_{ν} abhängig, in der T′ liegt; man kann daher sowohl \overline{S}_{ν}^{T} als \overline{S}_{ν}^{T′} schreiben.) S_{ν} sei ein Repräsentant für \overline{S}_{ν} in 𝔊 (S_{ν}𝔊_{ν} − \overline{S}_{ν}). — Allgemein bedeute ‘S in \overline{𝔊}’ das Element von \overline{𝔊}, das durch S repräsentiert wird, wenn \overline{𝔊} Faktorgruppe einer Gruppe ist, in der S liegt.

Wir suchen jetzt, um die (n+1)-Stufigkeit von 𝔊 zu zeigen, ein Element von 𝔊 auf, das in 𝔊^{(n)} (der n-ten Kommutatorgruppe von 𝔊) liegt, aber noch nicht das Einselement ist. Bedeutet allgemein: (S, T) = T^{−1}ST S^{−1} = S^{T −1}, wenn S in einer Abelschen invarianten Untergruppe der ganzen Gruppe liegt, so bilden wir:

C_{1} = S_{1};
C_{2} = (S_{2}, S_{1}); C′_{2} = (S_{3}, S_{1});
C_{3} = (C′_{2}, C_{2}) = C(S_{1}, S_{2}, S_{3}); C′_{3} = C(S_{1}, S_{2}, S_{4});
…
allgemein : C_{ν+1} = C(S_{1}, …, S_{ν}, S_{ν+1}), C′_{ν+1} = C(S_{1}, …, S_{ν}, S_{ν+2});

schließlich:

C_{n+1} = (C′_{n}, C_{n}).

C ist dabei jedesmal ein formales Potenzprodukt in Gruppenelementen, das durch die angegebenen Kommutatorbildungen: (C′_{ν}, C_{ν}) definiert ist.

C_{2} liegt dann in der Kommutatorgruppe 𝔊′, ebenso C′_{2}; demnach C_{3} < 𝔊′′. Allgemein erhält man, wenn C_{ν} in 𝔊^{(ν−1)} liegt, daß dann auch C′_{ν} in 𝔊^{(ν−1)} liegt; denn C′_{ν} ist formal dieselbe Kommutatorabbildung, nur in andern ‘Variablen’ S_{μ}, und es ergibt sich, daß C_{ν+1} in 𝔊^{(ν)} liegt, als Kommutator zweier Elemente aus 𝔊^{(ν−1)}; schließlich also C_{n+1} < 𝔊^{(n)}. Daß nun C_{n+1} ≠ E gilt, zeigen wir durch folgende Relationen:

\{ \begin{matrix}C_{1} & = & S_{1}. \\ C_{2} & = & S_{2}^{C_{1}−1} & in & 𝔊_{2}. \\ C_{3} & = & S_{3}^{(C_{1}−1)(C_{2}−1)} & in & 𝔊_{3}. \\ & & … \\ C_{n+1} & = & S_{n+1}^{(C_{1}−1)(C_{2}−1)···(C_{n}−1)} & in & 𝔊_{n+1}. \end{matrix}

Diese Relationen gelten sogar absolut in 𝔊, wenn man die Schreibweise: S^{T_{1}+T_{2}} für S^{T_{1}} · S^{T_{2}} auch bei Nichtvertauschbarkeit der Konjugierten zuläßt; nur hat man dann die Reihenfolge der Summanden in dem symbolischen Exponenten zu beachten; speziell bleibt: (S, T) = S^{T −1}.

(Es bedeutet natürlich nach wie vor: S^{F G} = (S^{F})^{G}, so daß für die Exponenten noch das eine Distributivgesetz: F (G + H) = F G + F H gilt, weil

S^{F (G+H)} = (S^{F})^{G+H} = S^{F G}S^{F H}

bedeutet, während man (G + H)J im allgemeinen nicht durch GJ + HJ ersetzen darf.)

Gilt nämlich in 𝔊:

C_{ν} = S_{ν}^{(C_{1}−1)···(C_{ν−1}−1)},

so gilt entsprechend:

C′_{ν} = S_{ν+1}^{(C_{1}−1)···(C_{ν−1}−1)},

und es ergibt sich:

(C′_{ν}, C_{ν}) = S_{ν+1}^{(C_{1}−1)···(C_{ν−1}−1)(C_{ν}−1)}.

Wir benutzen hier nur:

C_{ν} = S_{ν}^{∏_{μ<ν}(C_{μ}−1)} in 𝔊_{ν},

dafür aber die dann vorliegende Kommutativität der Addition in den Exponenten, indem wir zeigen: Ist C_{μ} ≠ E in 𝔊_{μ} (μ < ν), so ist auch C_{ν} ≠ E in 𝔊_{ν} (ν = 1, …, n + 1).

Wäre nämlich:

S_{ν}^{∏_{μ<ν}(C_{μ}−1)} = E in 𝔊_{ν},

also wegen der Unabhängigkeit der S_{ν}^{T} (T < 𝔊_{ν−1}):

∏_{μ<ν}(C_{μ} − 1) = ∑_{μ_{1}<μ_{2}<...<μ_{r}<ν} ±C_{μ_{1}}C_{μ_{2}} ⋯ C_{μ_{r}} ≡ 0 (mod l) in ℜ_{ν−1},

so müßten, da 1 selbst als Summand vorkommt, mehrere der 2^{ν−1} Summanden = ±1 sein, also in 𝔊_{ν−1} wenigstens eine Beziehung:

C_{μ_{1}}C_{μ_{2}} ⋯ C_{μ_{r}} = E

mit μ_{1} < μ_{2} < … < μ_{r} < ν; r > 0 gelten. Das hieße aber

C_{μ_{1}} = E in 𝔊_{μ_{1}}.

Also C_{ν} ≠ E in 𝔊_{ν}; schließlich C_{n+1} ≠ E in 𝔊.

Damit ist der Beweis für die (n + 1)-Stufigkeit von 𝔊 erbracht. Der Körper K = K_{p_{1}}^{l}K_{p_{2}}^{l} ⋯ K_{p_{n+1}}^{l} hat also einen mindestens n-stufigen Turm; erst recht dann ein beliebiger zyklischer Körper l-ten Grades K_{p_{1}p_{2}...p_{n+1}}^{l} mit der Diskriminante (p_{1}p_{2} … p_{n+1})^{l−1}.

2. Wir waren bei dem Körper K_{p_{1}}^{l}K_{p_{2}}^{l} ⋯ K_{p_{n+1}}^{l} dadurch zu einem hohen Klassenkörperturm gelangt, daß wir für die p_{ν} eine Reihe von l-Potenzrestbedingungen aufstellten; man wird danach vermuten, daß man durch Aufstellen von Nichtrestbedingungen zu einem niedrigen Klassenkörperturm gelangen kann. Wir wollen zeigen, daß man noch Produkte von drei Körpern K_{p}^{l} bestimmen kann, die einen 0-stufigen Turm haben, also einklassig sind (d.h. eine zu l prime Klassenzahl haben; wir betrachten immer nur die l-Teile der Klassenkörper und Klassengruppen ).

Es folgt dann leicht (s. u.), daß ein beliebiger zyklischer Teilkörper K = K_{p_{1}p_{2}p_{3}}^{l} mit der Diskriminante (p_{1}p_{2}p_{3})^{l−1} des einklassigen Körpers \overline{K} = K_{p_{1}}^{l}K_{p_{2}}^{l}K_{p_{3}}^{l} die Eigenschaft hat, daß schon in einem über K relativ-zyklischen Unterkörper K′ des Klassenkörpers \overline{K} alle Ideale von K zu Hauptidealen werden, was für mich der ursprüngliche Zweck der Bestimmung des Körpers \overline{K} war.^{2}

Den Körper \overline{K} = K_{p_{1}}^{l}K_{p_{2}}^{l}K_{p_{3}}^{l} bestimmen wir nun so: p_{1} sei eine beliebige Primzahl der Form lx + 1, p_{2} l-ter Nichtrest mod p_{1}, p_{3} l-ter Rest mod p_{1} (p_{3} = N(𝔭_{3}) in K_{p_{1}}^{l}), aber Nichtrest mod p_{2}. Außerdem sei die (S − 1)^{l−2}-te Potenz η_{1} der relativen Grundeinheit ε_{1} in K_{p_{1}}^{l} kein l-ter Potenzrest mod p_{3}, wobei S eine erzeugende Substitution in K_{p_{1}}^{l} ist.^{3} Für l = 2 muß man, damit alles so wie für l > 2 verläuft, noch verlangen, daß K_{12} = K_{p_{1}}^{l}K_{p_{2}}^{l} reell ist, also p_{1} ≡ p_{2} ≡ 1 (4).

Erfüllbar sind diese Bedingungen, auch was die Wahl von p_{3} betrifft: denn betrachtet man den Körper: K^{∗} = K_{12}(ζ_{l}, \sqrt[l]{η_{1}} ) vom Grade (l − 1)l^{3}, so braucht man in diesem nur ein unverzweigtes Primideal 𝔭_{3}^{∗} zu wählen, dessen Zerlegungskörper zwar K_{p_{1}}^{l}(ζ_{l}), aber weder K_{p_{2}}^{l} noch \sqrt[l]{η_{1}} enthält, sondern einer der übrigen l − 1 Zwischenkörper zwischen K_{p_{1}}^{l}(ζ_{l}) und K^{∗} ist. Dann ist p_{3} durch N(𝔭_{3}^{∗}) = p_{3}^{l} passend bestimmt.

Um nun zu zeigen, daß unter diesen Bedingungen der Körper \overline{K} = K_{p_{1}}^{l}K_{p_{2}}^{l}K_{p_{3}}^{l} einklassig ist, stellen wir folgende Überlegungen an, die von allgemeinem Interesse sind:

1. Ein Körper K_{p}^{l} ist, wie wohl bekannt, einklassig (stets in bezug auf l gemeint). Da die Normen von Resten mod p aus K_{p}^{l} mit den rationalen l-ten Potenzresten mod p übereinstimmen, also die Faktorgruppe nach den Normenresten von der Ordnung l ist, so ist K_{p}^{l} eingeschlechtig und daher auch einklassig (vgl. H. H a s s e: Bericht über Klassenkörper I, Satz B””; Jahresber. der D. M. V. 35 (1926), S. 24).

2Beispiele dafür, daß schon in einem Teilkörper des Klassenkörpers alle Ideale des Grundkörpers zu Hauptidealen werden, finden sich für l = 2 (der Körper ℚ(\sqrt{−21} )) bei P h. F u r t w ä n g l e r: Über das Verhalten der Ideale des Grundkörpers im Klassenkörper, Monatsh. Math. u. Phys. 27 (1916), S. 1–15; für l > 2 bei F. P o l l a c z e k: Über die Einheiten relativ-Abelscher Zahlkörper §8, Math. Zeitschrift 30 (1929), S. 520–551.

3Das bedeutet für l = 2, daß ε_{1} nicht quadratischer Rest ist, im allgemeinen, daß ε_{2} in einem Restklassenverband liegt, der keine (S − 1)^{2}-te Potenz ist. Wählt man für l > 2 das Vorzeichen von ε_{1} so, daß N(ε_{1}) = +1, dann ist ε_{1} eo ipso (S −1)-ter Potenzrest, und für diesen Fall bedeutet die gesamte Forderung, daß ε_{1} kein (S − 1)^{2}-ter Potenzrest ist.

Dieselbe Überlegung gilt für relativ-zyklische Körper K/K_{0} vom Grade l, wo K_{0} einklassig: Ist 𝔣^{l−1} die Diskriminante von K/K_{0} und die Strahlklassengruppe mod 𝔣 in K_{0} zyklisch, so ist K einklassig.

Ist z. B., wie in unserem Falle, K_{p_{1}}^{l} der einklassige Grundkörper, und zerfällt p_{2} in K_{p_{1}}^{l} nicht, so ist der Körper K_{12} = K_{p_{1}}^{l}K_{p_{2}}^{l} zum Führer p_{2} einklassig.

Wir hätten sogar p_{2} als l-ten Potenzrest mod p_{1} wählen können, nur dann so, daß die relative Grundeinheit ε_{1} von K_{p_{1}}^{l} kein (S − 1)^{2}-ter Potenzrest (für l = 2 kein quadratischer Rest) mod p_{2} ist; denn dann werden von den l Basisrestklassen mod p_{2} schon l − 1 durch die Restklassen verschlungen, in denen Einheiten liegen.^{4} Die Klassengruppe mod p_{2} in K_{p_{1}}^{l} ist also auch hier zyklisch, und demnach K_{12} einklassig.

Durch Vertauschung von K_{p_{1}}^{l} und K_{p_{2}}^{l} in diesen Betrachtungen folgt übrigens:

a) Sind p_{1}, p_{2} gegenseitig l-te Potenzreste, und ist die Grundeinheit ε_{1} von K_{p_{1}}^{l} kein (S−1)^{2}- ter Potenzrest (für l = 2 kein quadratischer Rest) mod p_{2}, so ist auch die Grundeinheit ε_{2} von K_{p_{2}}^{l} kein (S − 1)^{2}-ter Potenzrest (für l = 2 kein quadratischer Rest) mod p_{1}. (S sei jedesmal die erzeugende Substitution der Galoisschen Gruppe.)

b) Ist p_{2} l-ter Potenzrest mod p_{1}, aber nicht umgekehrt, so ist ε_{1} kein (S −1)^{2}-ter Potenzrest mod p_{2} (l > 2).

2. Ist K_{1} ein einklassiger Körper, relativ zyklisch vom Primzahlgrad l über einem Körper K_{0}, und geht im Führer 𝔣̃ von K_{1}/K_{0}, der zu l teilerfremd sei, höchstens eine Primstelle^{5} aus K_{0} auf,^{6} so ist jede Einheit aus K_{0} Relativnorm einer Einheit aus K_{1}.^{7}

Die Relativnormen von Einheiten aus K_{1} machen in K_{0} im allgemeinen eine Untergruppe 𝔑 aller Einheiten von einem Index l^{ν} aus. Wäre ν > 0, so kann man ein Primideal 𝔮 aus K_{0} bestimmen, für das alle Einheiten aus 𝔑, aber nicht alle Einheiten überhaupt, l-te Potenzreste werden. Dann gibt es über K_{1} zum Führer 𝔮 einen Körper l-ten Grades: Da in K_{1} alle Ideale nach Voraussetzung Zahlideale sind, kann man dort die Hauptklasse aus den Idealen (α) bilden, deren Relativnormen N(α) in K_{0} l-te Potenzreste mod 𝔮 sind. Durch Multiplikation von α mit einer Einheit ε in K_{1} wird ja der Potenzrestcharakter von N(α) nicht geändert, da N(ε) in 𝔑 liegt. Der zugehörige Klassenkörper K_{2}/K_{1} wäre Galoissch über K_{0} vom Grade l^{2}, also ein Abelscher Körper, und zwar zum Führer 𝔣̃𝔮 (relativ-reell!).

Der Fall 𝔣̃ = 1 fällt jetzt schon fort: denn 𝔮 kann nicht Führer in K_{0} sein, weil nicht alle Einheiten aus K_{0} l-te Potenzreste mod 𝔮 sind. Es bleibt daher der uns nachher interessierende Fall, daß 𝔣̃ ein Primideal 𝔭 (≠ 𝔮) und K_{0} einklassig ist. Dann kann K_{2}/K_{0} nicht zyklisch sein: denn es ist 𝔭 = 𝔭_{1}^{l} in K_{1}, aber 𝔭_{1} ≠ 𝔭_{2}^{l} in K_{2}: der Trägheitskörper von 𝔭 muß ein K_{1} nicht enthaltender Unterkörper K′_{1} (l-ten Grades) von K_{2}/K_{0} sein.

4Vgl. die Ausführungen auf S. 206. Es würde allerdings umgekehrt p_{1} l-ter Nichtrest von p_{2} werden, wie eine eingehendere Untersuchung ergibt.

5Definition s. H. H a s s e: Bericht über Klassenkörper Ia, §2; Jahresber. der D. M. V. 36 (1927), S.

235.

6Weil K_{1} selbst die Klassenzahl 1 hat, hat K_{0} entweder die Klassenzahl l, und dann ist 𝔣̃ = 1, oder es ist 𝔣̃ ein Primideal, und dann hat K_{0} selbst die Klassenzahl 1. Eine unendliche Primstelle kommt allein als Führer nicht in Frage, weil der Grundkörper schon stets die Einheit −1 erhält (also 𝔣̃ = 𝔣).

7Für 𝔣̃ = 1 vgl. P h. F u r t w ä n g l e r: Existenzbeweis für den Klassenkörper, Math. Ann. 63 (1907), Satz 7, S. 20.

K′_{1}/K_{0} müßte dann Klassenkörper zum Führer 𝔮 sein, was nicht möglich ist. Also ist ν = 0.^{8}

Kehren wir zu unserem Körper: \overline{K} = K_{p_{1}}^{l}K_{p_{2}}^{l}K_{p_{3}}^{l} zurück, so können wir also schließen: Da K_{12} einklassig und sein Führer p_{2} in K_{p_{1}}^{l} noch ein Primideal ist, so ist jede Einheit von K_{p_{1}}^{l} Norm einer Einheit aus K_{12}. Da nun 𝔭_{3} = N(𝔭_{3}) in K_{p_{1}}^{l} und 𝔭_{3} noch Primideal in K_{12}, ferner die Grundeinheit ε_{1} von K_{p_{1}}^{l} kein (S −1)^{2}-ter Potenzrest (bzw. quadratischer Rest) mod p_{3} ist, so folgt aus ε_{1} = N(η) in K_{12}, daß auch für η keine Kongruenz:

η ≡ α^{(S_{1}−1)^{2}}β^{l} (mod p_{3}); α, β < K_{12}

gelten kann, da sonst durch Normbildung in K_{p_{1}}^{l} folgte:

ε_{1} ≡ α_{1}^{(S_{1}−1)^{2}}β_{1}^{l} (mod p_{3}); α_{1}, β_{1} < K_{p_{1}}^{l}.

(S_{ν} sei jedesmal erzeugende Substitution der Trägheitsgruppe eines Primidealteilers von p_{ν}.)

In K_{12} kann man nun, da K_{p_{1}}^{l} der Zerlegungskörper von 𝔭_{3} ist, eine Zahl α so bestimmen, daß sich alle (zu p_{3} teilerfremden) Zahlen aus K_{12} darstellen lassen:

γ ≡ α^{F (S_{1})}β^{l} (mod p_{3}); β < K_{12}.

F (mod l) charakterisiert den Restklassenverband. Die gegenüber S_{1} invarianten Verbandsuntergruppen 𝔉_{κ} (κ = 0, 1, …, l; 𝔉_{l}: Hauptverband) sind durch (S_{1} − 1)^{κ} | F (mod l) charakterisiert. Die Einheitenuntergruppe ist offenbar 𝔉_{1}, da schon η nicht mehr 𝔉_{2} angehört, andererseits aber alle Einheiten ε 𝔉_{1} angehören; denn sonst hätte ε selbst die Eigenschaft, daß sich alle Zahlen γ aus K_{12} darstellen lassen:

γ ≡ ε^{F (S_{1})}β^{l} (p_{3}); β < K_{12},

und alle Zahlen γ_{1} aus K_{p_{1}}^{l} dann:

γ_{1} ≡ ε_{1}^{F (S_{1})}β_{1}^{l} (mod p_{3}); β_{1} < K_{p_{1}}^{l},

während doch schon ε_{1}^{1+S_{1}+...+S_{1}^{l−1}} = ±1, und nur für l = 2: (\frac{−1}{p_{3}}) = 1. Es ist daher die Idealklassengruppe mod p_{3} in K_{12} zugleich mit 𝔉_{0}/𝔉_{1} zyklisch und damit \overline{K} einklassig.

Es ist anzunehmen, daß man durch Verfeinerung dieser Methode auch zu einklassigen Produkten von mehr als drei Körpern K_{p}^{l} gelangt.

Um nun noch zu zeigen, daß die Ideale eines Unterkörpers K_{p_{1}p_{2}p_{3}}^{l} von \overline{K} schon in einem Zwischenkörper zu Hauptidealen werden (s. o.), zeigen wir allgemein:

8Daß ν = 0 ist, kann man für l ≠ 2 in dem uns nachher interessierende Fall, daß ζ_{l} nicht in K_{0} liegt einfacher so schließen: Ist η_{1}, …, η_{ρ}, η′_{1}, …, η′_{ν} ein Fundamentalsystem von r = ρ + ν Einheiten aus K_{0}, ε_{1}, …, ε_{r+1} ein System von r + 1 relativen Grundeinheiten in K_{1}, und erzeugen η_{1}, …, η_{ρ} die Gruppe 𝔑 der Einheitsnormen vom Index l^{ν}, so kann man ε_{1}, …, ε_{r+1} so transformieren, daß N(ε_{1}) = η_{1}, N(ε_{2}) = η_{2}, …, N(ε_{ρ}) = η_{ρ} und N(ε_{σ}) = 1 für σ > ρ. K_{1} enthält demnach ν + 1 unabhängige Einheitenkomplexe mit der Relativnorm 1 und damit ν + 1 unabhängige Zahlideale (α_{σ}), daß ε_{σ} = α_{σ}^{S−1} und kein wirkliches Potenzprodukt der (α_{σ}) ein Zahlideal aus K_{0} ergibt. Solche Ideale (α_{σ}) sind aber entweder gebrochene Potenzen (ω_{σ})^{1/l} von Zahlidealen (ω_{σ}) aus K_{0} oder Ideale 𝔞_{σ} aus K_{0}, die erst in K_{1} zu Hauptidealen werden. Ist nun der Führer 𝔣̃ von K_{1}/K_{0} ein Primideal, so gibt es nur ein (α_{σ}) der ersten Art, da K_{0} mit K_{1} einklassig ist; ist hingegen 𝔣̃ = 1, so gibt es nur ein (α_{σ}) von der letzten Art, da K_{1} einklassig ist. In jedem Falle ist also ν + 1 = 1. — Siehe hierzu schon T. Takagi:

Über eine Theorie des relativ-Abelschen Zahlkörpers. Journ. Coll. Science Tokyo 41 (1920), Satz 12, S.

Ist der absolute Klassenkörper\overline{K} eines Körpers K einklassig, so werden schon in einem (jeden maximalen) zyklischen Unterkörper von \overline{K}/K alle Ideale von K zu Hauptidealen. (In dieser Fassung sowohl auf den Klassenkörper in bezug auf l als auch auf den vollständigen anwendbar.)

Ist nämlich K′ ein beliebiger Körper zwischen K und \overline{K}, \overline{K}′ der Klassenkörper von K′, 𝔊 die Galoissche Gruppe von \overline{K}/K, ℌ die Untergruppe von 𝔊, zu der K′ gehört, und \overline{ℌ} die Gruppe von \overline{K}′/K, so gehört eine Idealklasse, die in K zur Substitution S von 𝔊 gehört, in K′ zur Substitution \overline{S}^{f ∑ R} von \overline{ℌ}, wo \overline{S} ein Repräsentant für S in \overline{ℌ}, f die Ordnung von Sℌ ist und R ein vollständiges Restsystem mod ℌ in \overline{ℌ} durchläuft (vgl. etwa: E. A r t i n, Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgezetz, Abhdlg. d. Math. Sem. d. Univ. Hamburg 7 (1929), S. 46–51.)

Wenn nun \overline{S}^{f ∑ R} = E, geht die in K zu S gehörige Idealklasse in K′ in die Hauptklasse über. Ist nun \overline{K} einklassig, so kann man schon, wenn S_{1}, …, S_{n} eine Basis für 𝔊 und S_{1} von Maximalordnung m ist, ℌ = {S_{2}, S_{3}, …, S_{n}} nehmen; es ist wegen der Einklassigkeit von \overline{K} jedenfalls \overline{K}′ = \overline{K}, somit \overline{ℌ} = 𝔊, sodaß jedes S aus 𝔊 in \overline{S}^{f ∑ R} = S^{m} = E übergeht.

In unserm Fall: K = K_{p_{1}p_{2}p_{3}}^{l} ist \overline{K} = ∏_{ν=1}^{3} K_{p_{ν}}^{l}, weil einklassig, schon der absolute

Klassenkörper.