Proofs of the Quadratic Reciprocity Law

Author Year Method Reference
1. Legendre 1788 Quadratic forms; incomplete Recherches d'analyse indeterminée See also Weintraub, On Legendre's Work on the Law of Quadratic Reciprocity
2. Gauß 1 1801 Induction; April 8, 1796 Disquisitiones Arithmeticae; German translation (GDV) Spanish translation
3. Gauß 2 1801 Quadratic forms; June 27, 1796 Disquisitiones Arithmeticae
4. Gauß 3 1808 Gauß's Lemma; May 6, 1807 Theorematis arithmetici demonstratio nova, Werke II (1863), p. 1-8
5. Gauß 4 1811 Cyclotomy; May 1801 Summatio serierum quarundam singularium, Werke II (1863), p. 9-45
6. Gauß 5 1818 Gauß's Lemma; 1807/08 Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae, Werke II (1863), 47-64
7. Gauß 6 1818 Gauß sums; 1807/08 Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae, Werke II (1863), 47-64
8. Lebesgue 1829 Gauß 3 Extrait d'un mémoire inédit sur les congruences d'un degré quelconque et a une seule inconnue, Bulletin du Nord 2 (1829), 19-33
9. Cauchy 1 1829 Gauß 6 Sur la théorie des nombres, Œuvres (II) 2, 88-107
10. Jacobi 1830 Gauß 6 Legendre, Théorie des nombres, 3rd ed. 1830, 391-393
11.Dirichlet 1 1835 Gauß 4 Über eine neue Anwendung bestimmter Integrale auf die Summation endlicher oder unendlicher Reihen, Werke I, 237-256
12. Lebesgue 2 1838 N(x12 + ... + xq2 = 1 mod p) Recherches sur les nombres, J. math. pures appl. 3 (1838), 113-144
13. Lebesgue 3 1838 Gauß 3 loc. cit.
14. Schönemann 1839 quadratic period equation Theorie der symmetrischen Functionen der Wurzeln einer Gleichung. Allgemeine Sätze über Congruenzen nebst einigen Anwendungen derselben, J. Reine Angew. Math. 19 (1839), 289-308
15. Cauchy 2 1840 Gauß 4 Méthode simple et nouvelle pour la détermination complete de sommes alternées, formées avec les racines primitives des equations binômes, Œuvres (I) 5 (1885), 152-166
16. Eisenstein 1 1844 generalized Jacobi sums Neuer und elementarer Beweis des Legendre'schen Reciprocitäts-Gesetzes, J. Reine Angew. Math. 27 (1844), 322-329; Math. Werke I, 100-107
17. Eisenstein 2 1844 Gauß 6 La loi de réciprocité tirée des formules de Mr. Gauss, sans avoir déterminée préalablement la signe du radical, J. Reine Angew. Math. 28 (1844), 41-43; Math. Werke I, 114-116
18. Eisenstein 3 1844 Gauß's Lemma Geometrischer Beweis des Fundamentaltheorems für die quadratischen Reste, J. Reine Angew. Math. 28 (1844), 246-248; Math. Werke I, 164-166
19. Eisenstein 4 1845 sine function Applications de l'algèbre à l'arithmétique transcendante, J. Reine Angew. Math. 29 (1845), 177-184; Math. Werke I, 291-298
20. Eisenstein 5 1845 tangent function Lemmermeyer 2020
21. Kummer 1 1846 period equation Über die Divisoren gewisser Formen der Zahlen, welche aus der Theorie der Kreistheilung entstehen, J. Reine Angew. Math. 30 (1846), 107-116; Coll. Papers I, 103-116
22. Liouville 1847 Cyclotomy Sur la loi de réciprocité dans la théorie des résidus quadratiques, J. math. pure appl. (I) 12 (1847), 95-96
23. Eisenstein 6 1847 infinite products Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen VI. Genaue Untersuchung der unendlichen Doppelprodukte, aus welchen die elliptischen Functionen als Quotienten zusammengesetzt sind, J. Reine Angew. Math. 35 (1847), 153--184; Math. Werke I, 457-478
24. Lebesgue 4 1847 Eisenstein 2 Démonstration nouvelle élémentaire de la loi de réciprocité de Legendre, par. M. Eisenstein, précédée et suivie de remarques sur d'autres démonstrations, que peuvent être tirées du même principe, J. math. pures appl. 12 (1847), 457-473
25. Lebesgue 5 1847 Liouville loc. cit.
26. Lebesgue 6 1847 Eisenstein 1 loc. cit.
27. Lebesgue 7 1847 Lebesgue 2 loc. cit.
28. Schaar 1 1847 Gauß's Lemma Nouvelle démonstration de la loi de réciprocité pour les residus quadratiques, Bulletin de l'Academie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique 14 (1847), 79-83
29. Schaar 2 1850 Gauß 4 Mémoire sur la théorie des residus quadratiques, Mem. Acad. Roy. Sci. Lettres Beaux Arts Belgique 24 (1850), 14 pp
30. Schaar 3 1850 Gauß 4 Recherches sur la théorie des residus quadratiques, Mem. Acad. Roy. Sci. Lettres Beaux Arts Belgique 25 (1850), 20 pp
31. Plana 1 1851 Gauß sums Mémoire sur une nouvelle solution algébrique de l'équation a deux termes xn-1=0; n etant premier, Mem. dell Acad. Sci. Torino (2) 11 (1851), 413-468
32. Genocchi 1 1852 Gauß 4 Note sur la théorie des residus quadratiques, Mém. cour. et mém. des savants étrangers Acad. Roy Sci. Lettres Belgique 25 (1851/53), 54 pp
33. Genocchi 2 1852 Liouville loc. cit.
34. Genocchi 3 1852 Eisenstein sine loc. cit.
35. Genocchi 4 1852 Gauss 4 Sulla formula sommatoria di Eulero e sulla teorica dei residui quadratici, Annali di Scienze Matematiche e fisiche 3, 406-436
36. Dirichlet 2 1854 Gauß 1 Über den ersten der von Gauss gegebenen Beweise des Reciprocitätsgesetzes in der Theorie der quadratischen Reste, Werke II, 121-138
37. Genocchi 5 1854 Liouville Note sur les nombres complexes, J. Math. Pures Appl. 19 (1854), 281-288
38. Lebesgue 8 1860 Gauß 7, 8 Note sur les congruences, C. R. Acad. Sci. Paris 51 (1860), 9-13
39. Skrivan 1860 Gauß 3 Die ersten Grundlehren der Zahlen-Theorie, Zweiter Jahresbericht der öffentlichen Ober-Realschule auf dem Bauernmarkte (in der innern Stadt) zu Wien 1860, 5-72
40. Sylvester 1862 Eisenstein lattice points Sur la fonction E(x), Mathematical Papers vol. II, art.~30, 179-180.
41. Kummer 2 1862 Quadratic forms, incomplete Zwei neue Beweise der allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, J. Reine Angew. Math. 100 (1887), 10-50; Coll. Papers I, 842-882
42. Kummer 3 1862 Quadratic forms, incomplete loc. cit.
43. Dedekind 1 1863 Quadratic forms Vorlesungen über Zahlentheorie, Suppl. X; Braunschweig 1863
44. Gauß 7 1863 quadratic periods; Sept. 1796 Analysis residuorum, Werke II (1863), p. 233
45. Gauß 8 1863 quadratic periods; Sept. 1796 Analysis residuorum, Werke II (1863), p. 234
46. Jenkins 1867 Gauß 4 Proof of an Arithmetical Theorem leading, by means of Gauss' fourth demonstration of Legendre's law of reciprocity, to the extension of that law, Proc. London Math. Soc. 2 (1867), 29-32
47. Mathieu 1867 Cyclotomy Mémoire sur la théorie des résidus biquadratiques, J. de Math. Pures Appl. (2) 12 (1867), 377-438
48. von Staudt 1867 Cyclotomy Ueber die Functionen Y und Z, welche der Gleichung 4(x^p-1)/(x-1) = Y2 ∓ pZ2 Genüge leisten, wo p eine Primzahl der Form 4k± 1 ist, J. Reine Angew. Math. 67 (1867), 205-217
49. Heime 1869 Gauß's Lemma Untersuchungen, besonders in Bezug auf relative Primzahlen, primitive und sekundäre Wurzeln, quadratische Reste und Nichtreste; nebst Berechnung von primitiven Wurzeln von allen Primzahlen zwischen 1 und 1000, Schulprogramm, Berlin 1868
50. Bouniakowski 1869 Gauß's Lemma Sur un théorème relatif à la théorie des résidus et son application à la démonstration de la loi de réciprocité de deux nombres premiers, Bull. Acad. St. Pétersbourg 14 (1869), 432-447
51. Stern 1870 Gauß's Lemma Über einen einfachen Beweis des quadratischen Reciprocitätsgesetzes und einige damit zusammenhängende Sätze, Gött. Nachr (1870), 237-253
52. Zeller 1872 Gauß's Lemma Beweis des Reciprocitätsgesetzes für die quadratischen Reste, Berl. Monatsber. (1872), 846-847
53. Zolotarev 1872 Permutations Nouvelle démonstration de la loi de réciprocité de Legendre, Nouv. Ann. Math (2) 11 (1872), 354-362
54. Schering 1 1876 Gauß 3 Verallgemeinerung des Gauss'schen Criteriums für den quadratischen Restcharakter einer Zahl in Bezug auf eine andere, Berl. Ber. (1876), 330-331; Werke I, 285-286
55. Kronecker 1 1876 Gauß's Lemma Über das Reciprocitätsgesetz, Werke II, 11-23 Sur la loi de réciprocité, Werke II, 25-36
56. Mansion 1 1876 Gauß's Lemma On the law of reciprocity of quadratic residues, Mess. Math. (2) 5 (1876), 140-143
57. Dedekind 2 1877 Gauß 6 Sur la théorie des nombres entiers algébriques, Bull. Sci. Math. Astr. 11 (1877)
58. Dedekind 3 1877 Dedekind Sums Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Ges. Werke I, 174-201
59. Pellet 1 1878 Stickelberger-Voronoi Sur la décomposition d'une fonction entière en facteurs irréducibles suivant un module permier, Comptes Rendus Paris 86 (1878), 1071-1072
60. Pépin 1 1878 Cyclotomy Mémoire sur les lois de réciprocité relatives aux résidus des puissances, Atti della Accademia Pontificia dei Nuovi Lincei Roma 31 (1878), 40-149
61. Sochocki 1878 Theta functions Determination of the constant factors in the transformation formulas of theta functions. Gauss sums and the reciprocity law for Legendre symbols (Polish), Towarzystwo Nauk Scislych (Paryz) czasopisma 10 (1878), 1-37
62. Zeller 2 1879 Gauß 5 Neuer Bestimmung des quadratischen Restcharakters durch Kettenbruchdivision. Versuch einer Ergänzung zum dritten und fünften Beweise des Gauss'schen Fundamentaltheorems., Gött. Nachr. (1879), 197-216
63. Schering 2 1879 Gauß's Lemma Neuer Beweis des Reciprocitäts-Satzes für die quadratischen Reste, Gött. Nachr. (1879), 217-224; Werke I, 331-336;
64. Petersen 1879 Zeller A new proof of the theorem of reciprocity, Amer. J. Math. pure and appl. 2 (1879), 285-286
65.Genocchi 6 1880 Gauß's Lemma Sur la loi de réciprocité de Legendre étendue aux nombres non premiers, C. R. Acad. Sci. Paris 90 (1880), 300-302
66. Genocchi 7 1880 Liouville Sur quelques théorèmes qui peuvent conduire à la loi de réciprocité de Legendre, Bull. bibliogr. storia sci. mat. fis. 18 (1885), 238-243
67. Kronecker 2 1880 Gauß 4 Ueber den vierten Gauss'schen Beweis des Reciprocitätsgesetzes für die quadratischen Reste, Werke IV, 275-294
68. Kronecker 3 1880 quadratic period Über die Potenzreste gewisser complexer Zahlen, Werke II, 95-101
69. Voigt 1881 Gauß's Lemma Abkürzung des dritten Gauss'schen Reciprocitätsbeweises, Z. Math. Phys. 26 (1881), 134
70. Pellet 2 1882 Mathieu 1867 Sur les résidus cubiques et biquadratiques suivant un module premier, Bull. Soc. Math. France 10 (1882), 157-162
71. Busche 1 1883 Gauß's Lemma Über eine Beweismethode in der Zahlentheorie und einige Anwendungen derselben, insbesondere auf das Reziprozitätsgesetz in der Theorie der quadratischen Reste, Diss. Göttingen 1883
72. Gegenbauer 1 1884 Gauß's Lemma Über das quadratische Reciprocitätsgesetz, Wiener Ber. 90 (1884), 1026-1035
73. Gegenbauer 2 1884 Kronecker 4 loc. cit.
74. Gegenbauer 3 1884 Schering 2 loc. cit.
75. Kronecker 5 1884 Gauß's Lemma Beweis des Reciprocitätsgesetzes für die quadratischen Reste, Werke II, 498-522
76. Bork 1885 lattice points Untersuchungen über das Verhalten zweier Primzahlen in Bezug auf ihren quadratischen Restcharakter, Diss. Halle, Beilage zum Jahresbericht des Askanischen Gymnasiums zu Berlin, Ostern 1885, 21 pp.
77. Genocchi 8 1885 Gauß 3 Remarques sur une demonstration de la loi de réciprocité, C. R. Acad. Sci. Paris 101 (1885), 425-427
78. Schering 3 1885 Gauß 3 Zum dritten Gauss'schen Beweis des Reciprocitätssatzes für die quadratischen Reste, Berl. Ber. (1885), 113-117; Werke II, 103-106
79. Schering 4 1885 Gauß 3 loc. cit.
80. Kronecker 6 1885 Gauß 3 Der dritte Gauss'sche Beweis des Reciprocitätsgesetzes für die quadratischen Reste, in vereinfachter Darstellung, Werke II, 533-53
81. Kronecker 7 1885 Gauß 3 Zum dritten Gauss'schen Beweis des Reciprocitätsgesetzes für die quadratischen Reste (Bemerkungen zu Herrn Ernst Schering's Mitteilung), Werke II, 537-540
82. Kronecker 8 1885 Gauß 3 loc. cit.
83. Kronecker 9 1885 Zeller loc. cit.
84. Bock 1886 Gauß's Lemma Über eine neue zahlentheoretische Funktion, Hamb. Mitt. 6 (1886), 187-194
85. Eichenberg 1 1886 Schering 1 Über das quadratische Reciprocitätsgesetz und einige quadratische Zerfällungen der Primzahlen, Diss. Göttingen 1886
86. Eichenberg 2 1886 Zeller loc. cit.
87. Eichenberg 3 1886 Zeller loc. cit.
88. Hermes 1887 Induction Beweis des quadratischen Reciprocitätsgesetzes durch Umkehrung, Arch. Math. Phys. (2) 5 (1887), 190-198
89. Lerch 1 1887 Gauß 3 Modification de la troisième démonstration donnée par Gauss de la loi de reciprocité de Legendre, J. Sciencias Matem. Astron. 8 (1887), 137-146
90. Busche 2 1888 Gauss's Lemma Über größte Ganze, J. Reine Angew. Math. 103 (1888), 118-125
91. Hacks 1889 Schering Schering's Beweis des Reciprocitäts-Satzes für die quadratischen Reste dargestellt mit Hülfe des Zeichens [x], Acta Math. 12 (1889), 109-111
92. Kronecker 10 1889 Gauß's Lemma Beweis des Reciprocitätsgesetzes für die quadratischen Reste, Werke III, 137-144
93. Tafelmacher 1 1889 Stern Zu dem dritten Gauss'schen Beweise des Reciprocitäts-Satzes für die quadratischen Reste gehörende Untersuchungen, Diss. Göttingen 1889, Pr. Gymn. Osnabrück 1890, 1-24
94. Tafelmacher 2 1889 Stern/Schering loc. cit.
95. Tafelmacher 3 1889 Schering loc. cit.
96. Busche 3 1890 Gauß's Lemma Über die Function Σx=1(q-1)/2 [px/q], J. Reine Angew. Math. 106 (1890), 65-80
97. Franklin 1890 Gauß's Lemma A proof of the theorem of reciprocity for quadratic residues, Mess. Math. (2) 19 (1890), 176-177
98. Kronecker 11 1890 Gauß 4 Über die Dirichlet'sche Methode der Wertbestimmung der Gaußschen Reihen, Werke IV, 301-308
99. Lucas 1890 Gauß's Lemma Nouvelle démonstration de la loi de réciprocité, Assoc. Franç. Limoges 19 (1890), 147
100. Pépin 2 1890 Gauß 2 Nouvelle démonstration de la loi de réciprocité de Legendre, Rom. Acc. Pont. d. Nuovi Lincei 43 (1890), 192-198
101. Fields 1891 Gauß's Lemma A simple statement of proof of reciprocal theorem, American J. Math. 13 (1891), 189-190
102. Gegenbauer 4 1891 Gauß's Lemma Note über das Legendre-Jacobi'sche Symbol, Wiener Ber. 100 100 (1891), 855-864
103. Gegenbauer 5 1893 Zeller Beweis des quadratischen Reciprocitätsgesetzes, Monatsh. f. Math. 4 (1893), 190-192
104. Gegenbauer 6 1893 Petersen loc. cit.
105. Gegenbauer 7 1893 Gauß's Lemma loc. cit.
106. Gegenbauer 8 1893 Zeller Arithmetische Untersuchungen
107. Gegenbauer 9 1893 Petersen loc. cit.
108. Gegenbauer 10 1893 Gauß 3 loc. cit.
109. Gegenbauer 11 1893 Genocchi 1852 loc. cit.
110. Gegenbauer 12 1893 Kronecker sign loc. cit.
111. Heinitz 1893 Gauß's Lemma Eine neue Bestimmung des quadratischen Restcharakters, Wiss. Beil. z. Pr. Realsch. Seesen a. Harz 694, Göttingen 1893, 45 pp
112. Schmidt 1 1893 Gauß's Lemma Drei neue Beweise des Reciprocitätssatzes in der Theorie der quadratischen Reste, J. Reine Angew. Math. 111 (1893), 107-120
113. Schmidt 2 1893 Gauß's Lemma loc. cit.
114. Schmidt 3 1893 Induction loc. cit.
115. Gegenbauer 13 1894 Gauß's Lemma Einige Bemerkungen zum quadratischen Reciprocitätsgesetz, Wiener Ber. 103 (1894), 285-294
116. Hasenöhrl 1894 Gauß's Lemma Über das quadratische Reziprozitätsgesetz, Seminararbeit 1894; cf. Anzeiger K. Akad. Wien 31 (1894), 74-76
117. Bang 1894 Induction Nyt Bevis for Reciprocitetsaetninger, Nyt. Tidss. for Math. V B (1894), 92-96
118. Mertens 1 1894 Gauß's Lemma Über den quadratischen Reciprocitätssatz und die Summen von Gauss, Wiener Ber. 103 (1894), 1005-1022
119. Mertens 2 1894 Gauß sums loc. cit.
120. Busche 4 1896 Gauß's Lemma Beweis des quadratischen Reciprocitätsgesetzes, Hamburger Mitt. 3 (1896), 233-234
121. Busche 5 1896 Gauß's Lemma Über eine allgemeine Anzahlbeziehung und einige Anwendungen davon auf die Zahlentheorie, Hamburger Mitt. 3 (1896), 333-346
122. Lange 1 1896 Gauß's Lemma Ein elementarer Beweis des Reciprocitätsgesetzes, Ber. Verh. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig 48 (1896), 629-633
123. de la Vallée Poussin 1896 Gauß 2 Recherches arithmétiques sur la composition des formes binaires quadratiques, Mém. Acad. Belgique 53 (1895/86). no. 3, 59 pp.
124. Kronecker 13 1895 Kronecker 5 Die absolut kleinsten Reste reeller Größen, Sitzungsberichte Berlin 18950
125. Kronecker 14 1895 Gauss 5 loc. cit
126. Kronecker 15 1895 Zeller loc. cit
127. Kronecker 16 1895 Petersen loc. cit
128. Kronecker 17 1895 Genocchi 1 loc. cit
129. Kronecker 18 1895 Gauss 3 loc. cit
130. Kronecker 19 1895 Eisenstein sine loc. cit
131. Lange 2 1897 Gauß's Lemma Ein elementarer Beweis des Reciprocitätsgesetzes, Ber. Verh. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig Math.-Nat. Kl. 49 (1897), 607-610
132. Hilbert 1897 ternary quadratic forms Die Theorie der algebraischen Zahlen (Zahlbericht), Jahresber. DMV 4 (1897), 175-546
133. Hilbert 1897 Cyclotomy loc. cit.
134. Alexejevsky 1898 Schering Über das Reciprocitätsgesetz der Primzahlen (Russ.), Samml. Mitt. Math. Ges. Charkov (2) 6 (1898), 200-202
135. Pépin 3 1898 Legendre Dissertation sur deux démonstrations du théorème de réciprocité de Legendre, Rom. Acc. Pont. d. Nuovi Lincei 51 (1898), 123-144
136. Pépin 4 1898 Gauß 5 loc. cit.
137. König 1899 Gauß 1; incorrect Das Reciprocitätsgesetz in der Theorie der quadratischen Reste, Acta Math. 22 (1899), 181-192
138. Lerch 2 1899 Gauß 4 On Gauss sums (Czech), Casopis 28 (1899), 1-24
139. Scheibner 1 1899 Zeller Zur Theorie des Legendre-Jacobi'schen Symbols (n/m), Leipz. Abh. 24 (1899), 369-410
140. Scheibner 2 1899 Gauß 3 loc. cit.
141. Scheibner 3 1899 Gauß 3 loc. cit.
142. Scheibner 4 1899 Gauß 3 loc. cit.
143. Scheibner 5 1899 Eisenstein sine loc. cit.
144. Scheibner 6 1899 lattice points loc. cit.
145. Scheibner 7 1899 Gauß 4 loc. cit.
146. Fischer 1900 Resultants Über Eisenstein's Beweis des quadratischen Reciprocitätsgesetzes, Monatsh. f. Math. 11 (1900), 176-182
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148. McClintock 1903 Gauß's Lemma On the nature and use of the functions employed in the recognition of quadratic residues, Trans. Amer. Math. Soc. 3 (1902), 92-109
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150. Lerch 4 1903 Gauß 5 Über den fünften Gaußschen Beweis des Reziprozitätsgesetzes für die quadratischen Reste, Sep.-Abdr. Sitzungsber. Kgl. Böhm. Ges. d. Wiss. 1903, Prag, 12 pp
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152. Mirimanoff & Hensel 1905 Stickelberger-Voronoi Sur la relation (D/p) = (-1)n-h et la loi de réciprocité, J. Reine Angew. Math. 129 (1905), 86-87
153. Cornacchia 5 1909 cyclotomy Sulla congruenza xn + yn ≡ zn mod p, Giornale di Mat. (2) 47 (1909), 219-268
154. Busche 5 1909 Zeller Eine geometrische Veranschaulichung des quadratischen Restcharakters, Hamb. Mitt. 4 (1909), 403-409
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158. Aubry 2 1910 = Voigt loc. cit.
159. Aubry 3 1910 = Kronecker loc. cit.
160. Pépin 5 1911 Gauß 2 Théorie des Nombres; Suite et fin, Memorie della Accademia Pontificia dei Nuovi Lincei Roma 29 (1911), 319-339
161. Petr 1 1911 Mertens 3 Poznámka o Legendre-Jacobiove symbolu (P/Q) (A remark on the Legendre-Jacobi Symbol (P/Q)) (Czech), Casopis 40 (1911), 162-165
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164. Dedekind 4 1912 Zeller loc. cit.
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