Über die Criterien der Möglichkeit einer gewissen Gattung von unbestimmten Gleichungen, und die Herleitung dieser

Criterien aus der Theorie der Kreistheilung

Rudolf Lipschitz

24. Juni 1998

Der Gegenstand, dem ich Sie bitte Ihre geneigte Aufmerksamkeit zuzuwenden, ist ein Problem der Arithmetik, das die Auflösung gewisser Gleichungen in ganzen Zahlen betrifft. Von den unbestimmten Gleichungen, die den ersten Grad übersteigen, ist offenbar diejenige die einfachste, die zwei Unbekannte und zwar die eine derselben linear, die andere im Quadrat enthält. Denken wir uns eine solche Gleichung in der Form x^{2} = q + py, wo p und q feste, x und y bewegliche Werthe bedeuten, so entsteht die interessante Aufgabe, zu untersuchen, wenn die Zahl q gegeben ist, für welche Zahlen p die Auflösung in ganzen Zahlen möglich, und für welche sie nicht möglich ist; denn mit ganzen Zahlen haben wir es in der Folge überhaupt nur zu thun. Da nun die Gleichung x^{2} = q + py nichts anderes aussagt, als daß die Differenz x^{2} − q durch p getheilt aufgeht oder daß die Zahlen x^{2} und q nach der Division durch p denselben Rest geben, so kann man jene Frage auch so stellen: Für welche Theiler ist die gegebene Zahl q der Rest eines Quadrates, und für welche nicht?

Sofort erhellt, daß wenn die Zahl q Quadratrest für einen bestimmten Divisor ist, sie es auch für jeden Faktor derselben sein muß, und man beweist leicht, daß die Zahl q, wenn sie quadratischer Rest für irgendwelche ungerade Primzahlen ist, gleichfalls quadratischer Rest von jeder mit denselben zusammengesetzten Zahl wird. Daher ist es nur nöthig, die ungeraden Primzahlen zu kennen, für welche die gegebene Zahl q quadratischer Rest ist; das Verhalten zu der Primzahl zwei, und ihrer Potenzen, das übrigens sehr einfache Gesetze befolgt, schließe ich aus, um die Allgemeinheit des Ausdruckes beibehalten zu können. Euler beantwortete die gestellte Frage zunächst, indem er zeigte, daß die Zahl q quadratischer Rest einer ungeraden Primzahl p ist, wenn q^{(p−1)/2} durch p getheilt den Rest 1, und daß q quadratischer Nichtrest von p ist, wenn q^{(p−1)/2} den Rest −1 gibt. Hieraus ergab sich, daß das Verhalten einer Zahl q zu einem bestimmten Divisor p eine Folge des Verhaltens ihrer einfachsten Faktoren zu diesem Divisor ist, und daß es dafür genügt, den speziellen Fall zu untersuchen, in dem q eine Primzahl ist.

Euler bemerkte ferner, daß das gesuchte Criterium in einer weit einfacheren und höchst merkwürdigen Form dargestellt werden kann, indem die Frage, ob die Primzahl q quadratischer Rest der Primzahl p ist auf die umgekehrte zurückgeführt wird, ob die Primzahl q quadratischer Rest der Primzahl q ist. Aber trotz der dauerndsten Bemühungen war er nicht im Stande, den Satz, welcher die Beziehung ausspricht, strenge zu beweisen. Dem Genius von Gauss blieb es vorbehalten, in die Tiefe dieses Geheimnisses einzudringen. Er gab im vierten Abschnitt der disquisitiones arithm. den ersten vollständigen Beweis dieses seines Fundamentaltheorems in der Lehre der quadratischen Reste, fügte im fünften einen zweiten hinzu, und machte später noch vier neue Beweise bekannt, die sämmtlich, den dritten und fünften ausgenommen, auf ganz verschiedenen Prinzipien beruhen. Gauss hat es selbst ausgesprochen, daß er immer neue Beweise dieses Satzes aufzufinden bemüht gewesen sei, um dadurch auf die Theorie der cubischen und biquadratischen Reste, deren Fundamentalsätze er durch ein geeignetes Induktionsverfahren gefunden hatte, aber lange Zeit nicht zu beweisen vermochte, ein helleres Licht zu werfen. Endlich publizierte er seine Untersuchungen über die höheren Potenzreste, aber nur zum Theil, und gab einige Resultate ohne Beweise, wodurch andere angeregt wurden, dieselben zu ergänzen.

Ich werde nun versuchen zu zeigen, wie der sechste von Gauss gegebene Beweis des Fundamentaltheorems der quadratischen Reste den Weg zur Lösung der analogen Aufgaben für die höhern Potenzreste gewiesen hat; wie Jacobi auf diesem Weg, nachdem er der von Gauss geschaffenen Theorie der Kreistheilung eine neue Gestalt gegeben, die Lösung der entsprechenden Aufgaben für die cubischen und biquadratischen Reste fand; wie dieselben Principien verbunden mit den Untersuchungen des Herrn Professor Kummer über die sogenannten complexen Zahlen ausreichen, um das folgende Problem aus der Theorie der λten Potenzreste zu behandeln, wo λ eine der Primzahlen unter 19 oder = 19 selbst ist: Es sollen die Divisoren bestimmt werden, für welche eine gegebene Zahl q der Rest einer λten Potenz, und diejenigen, für welche sie es nicht ist, oder: es soll die Bedingung für die Möglichkeit der Gleichung x^{λ} = q + py gefunden werden.

Zunächst gestatten Sie mir, den sechsten Gauss’schen Beweis des Fundamentaltheorems der quadratischen Reste in seinen Grundzügen darzustellen. Demselben liegt ein sehr allgemeiner algebraischer Satz zu Grunde, der sich aussprechen läßt, wie folgt: Man habe zwei ganze rationale Funktionen der Variablen x,

fx = ax^{α} + bx^{β} + … + kx^{κ}

und

f′x = ax^{α′} + bx^{β′} + … + kx^{κ′},

deren Koefficienten resp. dieselben, deren Exponenten aber so beschaffen sind, daß die Differenzen von je zwei entsprechenden, also α − α′, β − β′, … durch eine bestimmte ungerade Primzahl p theilbar sind. Dann geht die Differenz der beiden Functionen fx−f′x bei der algebraischen Division durch den Ausdruck x^{p−1}+x^{p−2}+…+x^{2}+x+1 auf. Um sich hiervon zu überzeugen, darf man nur die Differenz der beiden Funktionen wirklich bilden. Die ersten Glieder ax^{α} und ax^{α′} geben die Differenz ax^{α′}(x^{α−α′} − 1), wo angenommen wird, daß α > α′ ist. Nun ist nach der Voraussetzung α − α′ ein Vielfaches von p, also etwa = np, und bekanntlich ist x^{np} − 1 algebraisch theilbar durch x^{p}−1; daher wird die Differenz der ersten Glieder ein algebraisches Vielfaches des Ausdrucks x^{p} −1 Was aber von diesen gilt, gilt von jeder Differenz zweier correspondierender Glieder und somit ist die Differenz fx−f′x theilbar durch x^{p} − 1. Der Ausdruck x^{p} − 1 ist ein Product von x − 1 und der Function x^{p−1} + x^{p−2} + … + x + 1, die in der Folge mit X bezeichnet werden soll; folglich muß die in Rede stehende Differenz fx − f′x bei der Division durch X aufgehn, wie behauptet wurde.

Mit Hülfe dieses Satzes wird eine eigenthümliche algebraische Function untersucht. Es sei p, wie vorhin, eine ungerade Primzahl, und g eine sogenannte primitive Wurzel des Moduls p, d.h. eine Zahl von solcher Beschaffenheit, daß die Reste der Zahlen 1, g, g^{2}, …, g^{p−2} bei der Division durch p, ohne Rücksicht auf die Folge mit den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, …, p − 1 zusammen fallen. Nun bildet Gauss den Ausdruck

x − x^{g} + x^{g^{2}} ± … − x^{g^{p−2}} = ξ,

in welchem die Zahlen 1, g, …, g^{p−2} die Exponenten sind, und jeder geraden Potenz von g der Coefficient +1, jeder ungeraden Potenz von g der Coefficient −1 entspricht. Setzt man nun für x den Werth x^{q}, wo q eine ungerade von p verschiedene Primzahl bedeuten soll, so geht diese Function in die folgende über

x^{q} − x^{qg} + x^{qg^{2}} ± … − x^{qg^{p−2}} = ξ′,

deren Exponenten die Eigenschaft haben, durch p getheilt, die sämmtlichen Reste 1, 2, …, q − 1 zu reproduciren, und zwar jeden ein mal. Bekanntlich bilden die Reste der Zahlen 1, g^{2}, …, g^{p−3} die sogenannten quadratischen Reste, die Zahlen g, g^{3}, …, g^{p−2} die quadratischen Nichtreste im engern Sinn nach dem Modul p. Ist ferner q quadratischer Rest von p, so geben die Zahlen q, qg^{2}, …, qg^{p−3} ein System der Reste, die Zahlen qg, qg^{3}, …, qg^{p−2} ein System der Nichtreste; ist dagegen q quadratischer Nichtrest von p, so vertauschen diese Reihen von Zahlen ihre Rollen. Im ersten Fall sind daher die Zahlen 1, g^{2}, …, g^{p−3} von den Zahlen q, qg^{2}, …, qg^{p−3} ohne Rücksicht auf die Ordnung, und die Zahlen g, g^{3}, …, g^{p−2} von den Zahlen qg, qg^{3}, …, qg^{p−2} ohne Rücksicht auf die Ordnung nur um Vielfache von p verschieden. Da nun in beiden Funktionen ξ und ξ′ der ersten Reihe von Exponenten der Coefficient +1, der zweiten Reihe der Coefficient −1 zugehört, so bilden sie einen besonderen Fall der Funktionen, von welchen vorhin gesprochen ist, und man weiß, daß ihre Differenz ξ′ − ξ durch den Ausdruck X = x^{p−1} + … + 1 algebraisch theilbar ist. Im zweiten Fall, d.h. wenn q quadratischer Nichtrest von p ist, sieht man leicht, daß die Funktionen ξ′ und −ξ ein Beispiel für unseren allgemeinen Satz darbieten, und daß folglich die Summe ξ′ + ξ durch X aufgeht. Um diese beiden Resultate in eines zusammenzufassen, ist es zweckmäßig, das Legendre’sche Symbol (\frac{q}{p}) anzuwenden, welches ±1 bedeutet, je nachdem q quadratischer Rest von p ist oder nicht; man sagt alsdann: Der Ausdruck ξ′ − (\frac{q}{p})ξ ist durch X algebraisch theilbar.

Die Funktion ξ′ wird jetzt auf ξ zurückgeführt. Denken wir uns ξ = x − x^{g} + x^{g^{2}} … − x^{g^{p−2}} auf die q-te Potenz erhoben, so kommt eine Summe der q-ten Potenzen sämmtlicher Glieder von ξ, d.h. da q ungerade ist, x^{q} − x^{qg} + x^{qg^{2}} … − x^{qg^{p−2}} oder ξ′ plus einer Summe von Potenzen von x, deren Coefficienten sämmtlich ganze Zahlen und zwar Vielfache der Primzahl q sind. Mithin ist ξ^{q} gleich ξ′ plus q mal einer ganzen gannzzahligen Funktion von x, die Z heißen möge, oder ξ′ = ξ − qZ.

Da nun die Differenz ξ′ − (\frac{q}{p})ξ durch X theilbar war, so ergibt die Anwendung des eben erhaltenen Ausdruckes für ξ′, daß ξ^{q} − qZ − (\frac{q}{p})ξ = ξ(ξ^{q−1} − (\frac{q}{p})) − qZ bei der Division durch X aufgeht.

Man bemerkt nunmehr, daß wenn eine ganze rationale Verbindung von ganzen Functionen durch X algebraisch theilbar ist, dieselbe diese Eigenschaft nicht verliert, wenn man eine der vorkommenden Größen um das Produkt von X und einer ganzen Funktion vermehrt oder vermindert. Dies findet auf die in Rede stehende Verbindung insofern eine Anwendung, als man im Stande ist, das Quadrat von ξ so zu bilden, daß der Rest hervortritt, den die Division durch X ergibt. Derselbe ist gleich ±p, je nachdem die Primzahl p durch 4 getheilt, den Rest 1 oder 3 läßt, oder, was dasselbe ist, weil \frac{p−1}{2} im ersten Fall gerade, im zweiten ungerade wird, gleich (−1)^{(p−1)/2}p. Da die Verbindung ξ(ξ^{q−1}−(\frac{q}{p}))−qZ die Funktion ξ nur in ungeraden Potenzen enthält, so wird sie mit ξ multiplicirt, und ξ^{2}(ξ^{q−1} −(\frac{q}{p}))−qξZ ist auch noch durch X theilbar. Nun ist ξ^{2} gleich (−1)^{(p−1)/2}p plus einem Vielfachen von X, mithin ξ^{q−1} = (ξ^{2})^{(q−1)/2} gleich (−1)^{(p−1)(q−1)/4}p^{(q−1)/2} plus einem Vielfachen von X. Setzt man diese Werthe in den Ausdruck ξ^{2}(ξ^{q−1}−(\frac{q}{p}))−qξZ ein, und läßt die Vielfachen von X fort, so erhellt aus dem oben gesagten, daß der Ausdruck ±p(εp^{(q−1)/2} −(\frac{q}{p}))−qξZ bei der Division durch X aufgeht, wo der Kürze wegen ε für (−1)^{(p−1)(q−1)/4} gesetzt ist. Der letzte Schritt des Beweises erfordert zu zeigen, daß die rein numerische Größe εp^{(q−1)/2}−(\frac{q}{p}) durch q aufgeht. Dividiert man die [??] ganzzahlige Function ξZ durch X und bestimmt den Rest T , so ergibt sich, wie vorhin, daß die Verbindung ±p(εp^{(q−1)/2} − (\frac{q}{p})) − qT durch X aufgehn muß. Weil T mit einer Zahl multipicirt, um einen numerischen Ausdruck vermehrt, auch nur von niedrigerem Grad sein kann als X, so muß die Verbindung ±p(εp^{(q−1)/2} −(\frac{q}{p}))−qT gleich Null sein, um durch X theilbar zu werden. Daher muß ±p(εp^{(q−1)/2} −(\frac{q}{p})) durch q aufgehn, und weil q und p verschiedene Primzahlen sind, der Ausdruck εp^{(q−1)/2} − (\frac{q}{p}) durch q theilbar sein. Hiermit ist das Fundamentaltheorem der quadratischen Reste bewiesen. Denn nach dem ersten Eulerschen Criterium giebt p^{(q−1)/2} den Rest +1 oder −1, bei der Division durch q, je nachdem p quadratischer Rest ist oder Nichtrest; und diesen Werth ±1 hat Legendre bekanntlich durch das Symbol (\frac{p}{q}) bezeichnet. Wenn daher εp^{(q−1)/2} − (\frac{q}{p}) durch q aufgehn soll, so muß auch ε(\frac{p}{q}) − (\frac{q}{p}) durch q aufgehn. Die Differenz von zwei Einheiten kann nun entweder 2 oder gleich Null sein. Da die vorliegende durch die ungerade Primzahl q aufgehn soll, muß sie gleich Null sein, das heißt (\frac{q}{p}) ist gleich ε(\frac{p}{q}). Es war ε = (−1)^{\frac{p−1}{2} \frac{q−1}{2}} , d.h. gleich +1, wenn eine der beiden Primzahlen p und q durch 4 getheilt den Rest 1 läßt, und gleich −1, wenn beide durch 4 getheilt, den Rest −1 geben. Man hat somit bewiesen, daß im ersten Falle (\frac{q}{p}) = (\frac{p}{q}), im zweiten Falle (\frac{q}{p}) = −(\frac{p}{q}) ist, und hierin besteht das sogenannte Reciprocitätsgesetz für die quadratischen Reste.

Fügt man zu demselben 2 Sätze hinzu, welche entscheiden, für welche Divisoren die Zahl 2 und die negative Einheit quadratische Reste sind, so kann man die Divisoren bestimmen, für die jede gegebene Zahl quadratischer Rest oder Nichtrest wird, und die Aufgabe, die Möglichkeit der Gleichung x^{2} = q + py zu beurteilen, ist allgemein gelöst.

Übersehen wir den Beweis mit einem Blick, so drängt sich uns die Bemerkung auf, daß derselbe aus der Theorie der Kreistheilung geschöpft ist. Die Funktion X = x^{p−1} + x^{p−2} + … + x^{2} + x + 1 gleich Null gesetzt giebt die Gleichung, deren Wurzeln unter dem Namen Wurzeln der Einheit bekannt und in der Formel e^{2mπ\sqrt{−1}/p} enthalten sind, wo e die Basis der natürlichen Logarithmen und m successive die Zahlen 1, 2, 3, …, p − 1 bedeutet; denn die Gleichung X = 0 enthält die Wurzeln der Gleichung x^{p} = 1 mit Ausnahme der Einheit. Die Aufgabe der Bestimmung derselben durch algebraische Operationen ist mit der Aufgabe, den Kreis in p gleiche Theile zu theilen, identisch, die Lösung bekanntlich ein Werk von Gauss. Da nun jede ganze Function von x, die durch den Ausdruck X theilbar ist, verschwinden muß, wenn für x irgend eine Wurzel der Gleichung X = 0 gesetzt wird, und umgekehrt jede Function von x, die für jede Wurzel der Gleichung X = 0 verschwindet, durch X algebraisch theilbar sein muß, so konnten gewisse Resultate der Kreistheilung in der Form ausgewdrückt werden, wie sie jener Beweis darbietet.

Aus der Kreistheilung war es bekannt, daß die Function ξ = x − x^{g} + x^{g^{2}} ± … − x^{g^{p−2}}, wo x eine Wurzel der Gleichung X = 0 ist, die beiden Eigenschaften besitzt, erstens wenn x^{−q} für x gesetzt wird, in sich selbst oder in −ξ überzugehn, je nachdem q quadratischer Rest von p oder nicht ist; zweitens, zum Quadrat erhoben, gleich ±p zu sein, je nachdem p den Rest 1 oder 3 läßt nach dem Modul 4. Und die entsprechenden Sätze, die für die algebraische Function ξ gelten, wo x eine veränderliche Größe bezeichnet, sind es gerade, auf die sich der mitgetheilte Beweis stützt.

Jacobi fasste den Gedanken, die Theorie der Kreistheilung auf die Lehre der cubischen und biquadratischen Reste anzuwenden. Er hatte die Kreistheilung wesentlich vereinfacht und ausgebildet, indem er gewisse Ausdrücke untersuchte, die der vorher erwähnten Funktion ξ analog sind, und deren wichtigste Eigenschaft schon in den disquisitiones arithmeticae andeutungsweise bewiesen ist. Da eben diese Ausdrücke über die Theorie der Potenzreste Aufschluß geben, so ist es nothwendig, auf dieselben hier einzugehn. Es sei, wie vorhin, x eine Wurzel der Gleichung X = 0, g eine primitive Wurzel des Moduls p und α eine Wurzel der Gleichung α^{p−1} = 1, so bezeichnet Jacobi den Ausdruck

x + αx^{g} + α^{2}x^{g^{2}} + … + α^{p−2}x^{g^{p−2}}

durch (α, x). Dieselbe ist gleich der Funktion ξ, wenn für α der Werth −1 gesetzt wird, und seine Eigenschaften entsprechen genau den angeführten Eigenschaften von ξ. Sei q eine relative Primzahl von p und q der Exponent, welcher der primitiven Wurzel g beigefügt werden muß, damit g^{q} gleichartig oder congruent nach dem Modul p werde. Setzt man nun in der Function (α, x) für x den Werth x^{q}, so geht (α, x) in sich selbst mit dem Factor α^{−ρ} über. Bekanntlich ist der Index ρ gerade oder ungerade, je nachdem q quadratischer Rest oder nicht ist; daher wird der Factor für die Function (−1, x) oder ξ nämlich (−1)^{−ρ} gleich +1 im ersten, gleich −1 im zweiten Fall, wie wir es vorhin gesehn haben. Bedeutet λ den kleinsten Exponent, zu dem erhoben die Wurzel α der Gleichung α^{p−1} = 1, selbst = 1 wird, so folgt aus der Gleichung (α, x^{q}) = α^{−ρ}(α, x), wenn man die auf die λte Potenz erhebt, und bemerkt, daß α^{−ρλ} = 1 ist, die Gleichung (α, x^{q})^{λ} = (α, x)^{λ}.

Setzt man nun für q successive die Werthe 1, 2, 3, …, p − 1,^{1} so wird x^{q} allen Wurzeln der Gleichung X = 0 gleich. Daher ist (α, x)^{λ} eine symmetrische Function der Wurzeln derselben, folglich als ganze ganzzahlige Function der Gleichung darstellbar, d.h. gleich einer aus Potenzen von α und ganzer Zahlen zusammengesetzten Größe. Diese Eigenschaft der Function (α, x) ist schon von Gauss angegeben. Jacobi aber hat den Werth von (α, π)^{λ} wirklich bilden gelehrt, und die Natur dieses Ausdrucks erforscht.

Mit diesem neuen Hülfsmittel ausgerüstet, wandte sich Jacobi zu der Frage, für welche Divisoren eine gegebene Zahl q der Rest eines Cubus ist, und für welche nicht. Daß es nur auf die Primfaktoren der Divisoren ankam, lag auf der Hand. Ferner hatte Gauss schon in den disquisitiones arithmeticae gezeigt, daß für jede Primzahl, die durch 3 getheilt den Rest 2 gibt, und für die drei selbst, jede Zahl cubischer Rest ist, und daß wenn eine Zahl q cubischer Rest einer Primzahl p von der Form 3n+1 ist, q^{\frac{p−1}{3}} ≡ 1 mod p wird, während im entgegengesetzten Fall q^{\frac{p−1}{3}} ≡ x oder x^{2}, wo x und x^{2} die von der Einheit verschiedenen Lösungen der Congruenz x^{3} ≡ 1 mod p bezeichnen. Hieraus folgt, daß es ausreichend ist, das Verhalten von \underline{Primzahlen} q zu untersuchen, und daß unter den Moduln nur die Primzahlen von der Form 3n + 1 in Erwägung kommen. Um dem gesuchten Criterium die möglichst einfachste Gestalt zu geben, betrachtet Jacobi den Ausdruck (α, x) der Kreistheilung, wo x eine Wurzel der Gleichung x^{p} = 1, die nicht Eins selbst ist, wo die Primzahl p von der Form 3n + 1, und α eine dritte Wurzel der Einheit ist, die der Gleichung α^{p−1} = 1 genügt.

Es sei, wie vorhin, g primitive Wurzel der Primzahl p, und die Primzahl q ≡ g^{ρ} (mod p), so ist ρ durch 3 theilbar oder nicht, je nachdem q cubischer Rest ist, oder nicht. Nun war die Function (α, x^{q}) = α^{−ρ}(α, x), d.h. = (α, x), wenn q cubischer Rest ist, sonst gleich (α, x) mal α oder α^{2} Erhebt man dagegen (α, x) auf die qte Potenz, so erhält man die Summe der qten Potenzen aller Glieder, oder (α^{q}, x^{q}), plus einer ganzzahligen Function von α und x, mit der Primzahl q multiplicirt. Jetzt ist es nothwendig zu unterscheiden, ob q von der Form 3n+1, oder 3n+2 ist, indem der Werth q = 3 ausgeschlossen wird. Wir beschränken uns auf die Betrachtung des ersten Falles, und bemerken daß alsdann α^{q} = α ist. Die Differenz der Functionen (α, x)^{q} und (α, x^{q}) ist also durch q theilbar, und Jacobi wendet in dieser allgemeinen Bedeutung das Zeichen der Congruenz an. Hieraus ergibt sich durch Anwendung des Werthes α^{−ρ}(α, x) für (α, x^{q}), daß

1Lipschitz schreibt hier fälschlicherweise q − 1

(α, x)^{q} − α^{−ρ}(α, x) ≡ 0 (mod q)

ist, oder indem man den gemeinsamen Factor (α, x) herauszieht,

(α, x){(α, x)^{q−1} − α^{−ρ}} ≡ 0 (mod q).

Hier ist (α, x)^{q−1} = (α, x)^{3 \frac{q−1}{3}} , und (α, x)^{3} ist, wie von Jacobi bemerkt, eine aus ganzen Zahlen und dritten Wurzeln der Einheit gebildete Größe, die der Kürze wegen A heißen mag. Multiplicirt man den durch q theilbaren Ausdruck mit (α, x)^{2}, so wird (α, x)^{3} = A Factor, und man hat die Relation A\{A^{\frac{q−1}{3}} −α^{−ρ}\} ≡ 0 (mod q) welche die Wurzeln der Gleichung X = 0 nicht mehr enthält.

Um die Bedeutung dieser Congruenz zu würdigen, betrachtete Jacobi die Ausdrücke von der Form a + bα + cα^{2}, wo a, b, c ganze Zahlen sind, unter dem Gesichtspunkt, welchen Gauss für die Ausdrücke a + b\sqrt{−1} eröffnet hatte. Zwei Ausdrücke von der Form a + bα + cα^{2}, wo α eine dritte Wurzel der Einheit darstellt, und a, b, c ganze Zahlen sind, geben durch Addition, Subtraktion, Multiplikation verbunden, wieder einen Ausdruck von derselben Beschaffenheit. Daher besitzen sie die Fundamentaleigenschaften der reellen ganzen Zahlen, und können, als complexe ganze Zahlen, analogen Untersuchungen unterworfen werden, von welchen einige Resultate hier anzuführen sind.

Jede complexe ganze Zahl a+bα+cα^{2} kann mittels der Gleichung 1+α+ α^{2} = 0 auf die Form (a − c) + (b − c)α = m + nα gebracht werden, und zwar nur auf eine Weise; denn soll m + nα = m′ + n′α sein, so muß m − m′ = 0, n − n′ = 0 werden, wegen der Irreducibilität der Gleichung 1 + α + α^{2} = 0. Man kann sich also die complexen Zahlen, unbeschieden der Allgemeinheit, unter der Form m+nρ denken. Das Produkt der zusammengehörigen Zahlen m + nα und m + nα^{2} ist eine reelle ganze Zahl, und wird die Norm derselben genannt.

Die complexen Zahlen deren Norm gleich Eins ist, sind als Einheiten aufzufassen: es sind die 6 Zahlen 1, α, α^{2}, −1, −α, −α^{2}. Es zeigt sich nun, daß, wie jede reelle Zahl ein Product bestimmter reeller Primzahlen ist, jede complexe Zahl auch nur auf eine Weise als das Product einfacher Factoren darzustellen ist, wenn man von den vorkommenden Einheiten abstrahirt. Der Zusammenhang zwischen diesen complexen Primzahlen und den gewöhnlichen reellen besteht darin, daß jede reelle Primzahl von der Form 3n + 1 das Product von 2 conjugirten verschiedenen complexen Primzahlen wird, während jede reelle Primzahl von der Form 3n + 2 in diesem System Primzahl bleibt. Die Zahl 3 zerfällt in die beiden Factoren 1−α und 1−α^{2}, welche nur durch eine Einheit von einander verschieden sind, also dieselbe complexe Primzahl repräsentieren. Um den Begriff der Congruenz auf dies System zu übertragen, bezeichnet man zwei complexe ganze Zahlen als congruent nach einem Modul a + bα, wenn ihre Differenz durch denselben dividirt eine complexe ganze Zahl als Quotienten liefert. Es ergibt sich nun, daß die sämmtlichen complexen Zahlen für einen bestimmten Modul nur eine beschränkte Anzahl incongruenter Zahlen darbieten und daß diese Anzahl der Norm des Moduls gleich ist. Ist der Modul eine complexe Primzahl, so sieht man, daß die Anzahl der incongruenten relativen Primzahlen zu demselben um Eins kleiner sein muß als die Anzahl der incongruenten Zahlen, d.h. die Norm der Primzahl. Und hieraus wird geschlossen, daß für jede complexe Primzahl als Modul, deren Norm N sein möge, irgend eine durch dieselbe nicht theilbare complexe Zahl, zur N −1ten Potenz erhoben, congruent 1 ist.

Die Norm einer complexen Zahl erscheint verschieden, je nachdem die Primzahl zweigliedrig oder eingliedrig ist. Wir bemerkten vorhin, daß jede zweigliedrige Primzahl a+bα die Eigenschaft hat, mit ihrer zusammengehörigen a+bα^{2} multiplicirt, eine reelle Primzahl q von der Form 3n+1 zu geben; die Norm derselben ist also gerade die reelle Primzahl q, und die Norm minus Eins gleich q − 1, also ein Vielfaches von drei. Dagegen ist die Norm einer eingliedrigen Primzahl q, welche eine reelle Primzahl von der Form 3n + 2 sein muß, gleich q^{2}, und daher die Norm um Eins vermindert, oder q^{2} − 1, auch durch 3 theilbar.

Man bemerkt nun, ganz wie in der Theorie der reellen Zahlen, die Existenz primitiver Wurzeln für jede complexe Primzahl. D.H. für jede complexe Primzahl, deren Norm wieder N heißen mag, als Modul, läßt sich eine complexe Zahl γ von der Beschaffenheit angeben, daß die Größen

1, γ, γ^{2}, …, γ^{N−2}

ein vollständiges System der nicht congruenten relativen Primzahlen bilden. Dieses Restsystem gibt über die Potenzreste der complexen Zahlen den ersten Aufschluß. Man sieht, daß unter den Exponenten 0, 1, 2, …, N −2 gleichviele [??] durch 3 getheilt aufgehn, als den Rest 1 oder den Rest 2 lassen, und demgemäß zerfällt das System in 3 Abteilungen, von denen augenscheinlich die erste die sogenannten cubischen Reste enthält. Jede durch den Modul nicht theilbare complexe Zahl Z hat in jenem System eine und nur eine Zahl, die ihr congruent ist, und dieselbe ist der Rest eines Cubus oder nicht, je nachdem der entsprechende Exponent durch 3 aufgeht oder nicht. Wir wollen diesen Satz anders aussprechen: die Zahl Z zur Potenz \frac{N−1}{3} erhoben, ist entweder ≡ 1, oder ≡ γ^{\frac{N−1}{3}} , oder ≡ γ^{2 \frac{N−1}{3}} , und nur im ersten Falle cubischer Rest. Da aber die Congruenz x^{3} ≡ 1 nur 3 Wurzeln haben kann, und derselben einerseits durch die Reste 1, α, α^{2} genügt wird, so muß respective γ^{\frac{N−1}{3}} und γ^{2 \frac{N−1}{3}} den Einheiten α und α^{2}, oder α^{2} und α congruent sein. Hieraus erhellt daß eine beliebige Zahl Z zur Potenz \frac{N−1}{3} erhoben entweder ≡ 1, oder ≡ α, oder ≡ α^{2} ist, und daß nur der Rest 1 sie als cubischen Rest characterisirt.

Für diesen Rest hat Jacobi, nach der Analogie des Zeichens von Legendre, das Symbol (\frac{Z}{φα}) eingeführt, wo φα den Primfactor bezeichnet, welcher als Modul auftritt; und auf die Gleichheit zweier Symbole dieser Art wird die Congruenz zurückgeführt, die vorhin aus Sätzen der Kreistheilung abgeleitet ist.

Ehe ich aber hierauf eingehe, ist noch eine Bemerkung voranzuschicken. Es war die Frage gestellt worden, für welche Primzahlen als Modul eine gegebene Primzahl q cubischer Rest ist, und für welche nicht, indem alle Zahlen als reell gedacht wurden; und gleichzeitig wurde bemerkt, daß als Moduln nur die Primzahlen von der Form 3n + 1 in betracht gezogen werden sollten. In der Theorie der complexen aus dritten Wurzeln der Einheit gebildeten Zahlen ist die Frage so zu fassen: für welche zweigliedrigen Primzahlen als Modul ist die gegebene reelle Primzahl q cubischer Rest? und die Normen der betreffenden zweigliedrigen Primzahl sind die Primzahlen von der Form 3n + 1, nach denen q im reellen Zahlensystem cubischer Rest wird. Dies beweist man, wie folgt. Es sei q cubischer Rest der Primzahl p im reellen System, so muß bekanntlich q^{\frac{p−1}{3}} − 1 durch p theilbar sein. Bezeichnet nun ψα einen complexen Factor von p, so folgt hieraus, daß q^{\frac{p−1}{3}} − 1 auch durch ψα aufgehn muß, oder, da p die Norm von ψα ist, daß q im complexen System cubischer Rest von ψα ist. Und umgekehrt, wenn dies der Fall ist, so muß q^{\frac{p−1}{3}} − 1 durch ψα theilbar sein, und daher, da es eine reelle Zahl ist, den Factor p enthalten. Wenn aber q^{\frac{p−1}{3}} − 1 durch p aufgeht, so ist q cubischer Rest von p im reellen Zahlensystem. Wir haben jetzt die Congruenz

A\{A^{\frac{q−1}{3}} − α^{−ρ}\} ≡ 0 (mod q)

zu discutiren, wo A = (α, x)^{3} eine complexe ganze Zahl, und ρ der Exponent ist, zu dem die primitive Wurzel g des Moduls p erhoben werden muß, um ≡ q zu werden. Jacobi fand nun, daß die complexe Zahl A das Product der reellen Primzahl p, und einer ihrer complexen Primfactoren ist, der ψα heißen mag. Er ist von den beiden conjugierten Factoren derjenige, welcher in eine durch p theilbare ganze Zahl übergeht, wenn man in seinen Ausdruck für α den reellen Werth g^{(p−1)/3} setzt; ferner ist er so beschaffen, daß er um Eins vermehrt, durch die Zahl 3 theilbar wird, und diese Bestimmung hebt die Vieldeutigkeit auf, welche die Multiplication mit verschiedenen Einheiten mit sich bringt. Zunächst ergibt sich aus dieser Kenntnis der Zahl A, daß wenn das Product von A und der Differenz A^{\frac{q−1}{3}} − α^{−ρ} durch q aufgehn soll, nothwendig die Differenz durch q theilbar ist, da A = p ψα Primfactoren enthält, die von dem Factoren von q verschieden sind. Die reelle Primzahl q hat nämlich, da sie von der Form 3n+1 ist, auch zwei complexe Primfactoren φα und φα^{2}, die von ψα und ψα^{2} verschieden sind, weil q nicht gleich p ist. Es ist aber nunmehr die Bedeutung des Ausdruckes α^{−ρ} zu entwickeln.

So wie φα diejenige complexe Primzahl ist, die für α = g^{(p−1)/3} durch p theilbar wird, so ist andererseits g^{(p−1)/3} ≡ α (mod ψα). Es war aber die Potenz g^{ρ}−q durch p theilbar, und ist es folglich im complexen System durch den Theiler von pψα. Mithin ergibt sich aus den Congruenzen g^{(p−1)/3} ≡ α, g^{ρ} ≡ q (mod ψα) daß q^{(p−1)/3} ≡ α^{ρ} (mod ψα) ist. Die Potenz α^{ρ} ist also genau der Rest von q^{(p−1)/3} nach dem Modul ψα, der anzeigt, ob q cubischer Rest ist, und der durch das Symbol (\frac{q}{ψα}) ausgedrückt wird, da p die Norm von ψα ist, und α^{−ρ} = α^{2ρ} ist daher gleich (\frac{q}{ψα})^{2}. Setzen wir diesen Werth für α^{−ρ}, und p ψα für A in die Congruenz ein, so wird sie die folgende Gestalt annehmen:

(p ψα)^{(q−1)/3} − (\frac{q}{ψα})^{2} ≡ 0 (mod q).

Allein diese Congruenz für den Modul q gilt auch für jeden Factor von q, also für die complexen Primzahlen φα oder φα^{2}. Nun ist (p ψα)^{(q−1)/3} congruent dem Werte (\frac{p ψα}{φα}) nach dem Modul φα, da q die Norm von φα ist. Daher muß

(\frac{p ψα}{φα}) − (\frac{q}{ψα})^{2} ≡ 0 (mod φα)

sein. Hier hat man eine Differenz zweier Potenzen von α, die durch φα theilbar sein soll; dieselbe ist entweder gleich Null oder (1 − α)mal irgendeiner Einheit; nun kann (1 − α) nicht durch φα aufgehen, außer wenn φα = 1 − α, oder q = 3 ist; also ist, da diese Zahl ausgeschlossen wurde, jene Differenz nothwendig gleich Null, also

(\frac{p ψα}{φα}) = (\frac{q}{ψα})^{2}.

Führt man eine entsprechende Untersuchung für den Fall durch, daß q von der Form 3n + 2 ist, so gelangt man zu der Endgleichung

(\frac{p ψα}{q}) = (\frac{q}{ψα}),

wo q als Modul auftritt, da er im complexen System Primzahl bleibt. Es sei jetzt die Aufgabe gestellt, die complexen zweigliedrigen Primzahlen zu definiren, für welche als Modul die reelle Primzahl q cubsicher Rest ist, oder wenn man die gesuchten Primzahlen durch ψα bezeichnet, für welche (\frac{q}{ψα}) = 1 ist. Man erhält die Antwort in einfachster Gestalt, wenn man die linken Seiten der gewonnenen Gleichungen ein wenig umformt; die erste derselben welche q von der Form 3n + 1 mithin als Product der complexen Primzahlen ψα und ψα^{2} voraussetzt, wird alsdann

(\frac{ψα}{φα})(\frac{ψα}{φα^{2}} ) = (\frac{p}{ψα}),

und die zweite, in der q von der Form 3n + 2 ist, lautet

(\frac{ψα}{q}) = (\frac{q}{ψα}).

Die erste Gleichung hat auf der linken Seite das Product (\frac{ψα}{φα})(\frac{ψα}{φα^{2}} ), welches = 1 werden muß, damit q cubischer Rest von ψα werde; d.h. ψα ist nach den beiden Moduln φα und φα^{2} gewissen Werthen congruent, wenn es die verlangte Beschaffenheit haben soll.

Lassen Sie uns diese Werthe etwas näher ins Auge fassen. Damit das Product der beiden Symbole gleich 1 werde, kann ψα nach dem Modul φα jedem der durch φα nicht theilbaren incongruenten Werthe congruent werden, die in der Anzahl q−1 vorhanden sind. Für jeden bestimmten Rest hat das Symbol (\frac{ψα}{φα}) entweder den Werth 1, α oder α^{2}. Damit nun das Symbol mit dem anderen (\frac{ψα}{φα^{2}} ) multiplizirt = 1 werde, muß das zweite Symbol entsprechend entweder 1, oder α^{2}, oder α sein. Es gibt aber unter den Resten des Moduls φα^{2} die Anzahl \frac{q−1}{3} für jeden Werth des Symbols. Damit also für eine Zahl ψα das Product der Symbole gleich eins sei, kann diese Zahl q−1 Resten nach dem Modul φα und \frac{q−1}{3} Resten nach dem Modul φα^{2} entsprechen, und da im complexen System wie im reellen jede Zahl, die für 2 verschiedene Primzahlen gewissen Resten congruent ist, einer bestimmten Zahl nach dem Product der Primzahlen als Modul gleichwertig sein muß, so gibt unsere Gleichung (q − 1)^{2}/3 Werthe nach dem Modul q, denen ψα congruent sein muß, damit (\frac{q}{ψα}) = 1 werde.

Die zweite Gleichung, welche sich auf den Fall bezieht, daß q von der Form 3n + 2 ist, (\frac{ψα}{q}) = (\frac{q}{ψα}), zeigt sofort, daß die Bedingung für (\frac{q}{ψα}) = 1 darin besteht, daß ψα cubischer Rest von q sei. Also gibt es in diesem Falle (q^{2} − 1)/3 Reste, denen ψα nach dem Modul q congruent sein muß, damit q cubischer Rest von ψα werde.

Nehmen wir alles zusammen, so erhellt, daß in der Theorie der reellen Zahlen eine Primzahl q cubischer Rest von denjenigen Primzahlen p der Form 3n + 1 ist, deren Primfaktoren φα in der Theorie der aus 3ten Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen, auf eine solche Form gebracht, daß ψα + 1 durch 3 theilbar ist, gewissen leicht zu bestimmenden Wurzeln nach dem Modul q congruent werden.

Dieser Satz hat für die cubischen Reste in der Theorie der reellen Zahlen dieselbe Bedeutung, wie für die quadratischen Reste das sogenannte Fundamentaltheorem derselben. Dagegen sind die beiden aufgestellten Gleichungen

(\frac{ψα}{φα})(\frac{ψα}{φα^{2}} ) = (\frac{q}{ψα})

und

(\frac{ψα}{q}) = (\frac{q}{ψα})

für die Theorie der cubischen Reste in complexen Systemen nicht erschöpfend, ein Unterschied, der nicht scharf genug hervorgehoben werden kann. Denn um beurteilen zu können, für welche Moduln irgend eine complexe Zahl cubischer Rest wird, muß man wissen, für welche Moduln jede complexe Primzahl cubischer Rest wird, um die Resultate so zusammensetzen zu können, wie man es in der Theorie der Quadratreste thut. Zwar lehrt die zweite der gefundenen Gleichung, für welche Moduln eine eingliedrige Primzahl cubischer Rest wird, allein die erste Gleichung sagt nicht das Gleiche für die zweigliedrigen Primzahlen aus.

Jacobi fand die Relation, welche hierüber Aufschluß gibt, indem er bemerkte, daß die Gleichung

(\frac{pψα}{φα}) = (\frac{q}{ψα})^{2}

auch gelten muß, wenn man q und p vertauscht, und die Gleichung

(\frac{p}{φα})^{2} = (\frac{qφα}{ψα})

mit der ursprünglichen multiplicirt. Dann, da jedes Symbol in der 3ten Potenz = 1 ist, so ergab sich sofort die gesuchte Gleichung

(\frac{ψα}{φα}) = (\frac{pha}{ψα}).

Diese Gleichung und die oben hergeleitete (\frac{ψα}{q}) = (\frac{q}{ψα}), wo q eine eingliedrige Primzahl ist, enthalten das Reciprocitätsgesetz in der Theorie der cubischen Reste der complexen Zahlen, die aus 3ten Wurzeln der Einheit gebildet sind. Als Ergänzung bedarf derselbe noch der Bestimmung der Primzahlen, für die jede der Einheiten, und für die der Primfaktor 1−α der Zahl 3 cubischer Rest wird; und diese Bestimmung ist leicht auszuführen. Bei dem Verhalten der Primzahl (1 − α) zu den complexen einfachen Divisoren, leitet man endlich das Gesetz für die Primzahlen ab, die im reellen drei als cubischen Rest haben.

Es ist oben erwähnt worden, daß Gauss die complexen Zahlen von der Form a + b\sqrt{−1} in die Zahlenlehre eingeführt hat. Dies geschah, um der Theorie der biquadratischen Reste eine vollendete Gestalt zu geben, und Jacobi leitet den Beweis der Fundamentalgesetze derselben auf ebenso einfache Weise aus der Kreistheilung ab, wie dies bei den kubischen Resten geschehen war. Diese Resultate bewogen ihn, die complexen Zahlen einer höheren Ordnung zu untersuchen, und wo möglich die Gesetze für die Reste der entsprechenden Potenzen aufzufinden und zu beweisen. Bis zu welcher Vollendung diese Arbeiten gediehen sind, habe ich nicht erfahren können, da nur wenige Notizen im Crelle’schen Journal dieselben andeuten. Später haben die Herren Lejeune-Dirichlet und Kummer diesem Gegenstande ihre Kräfte zugewandt, und Herr Professor Dirichlet hat denselben zum Theil in weit grösserer Allgemeinheit behandelt, als für den Zweck erforderlich ist, die Gesetze für die höheren Potenzreste aufzustellen. Die complexen Zahlen, auf die wir uns hier zu beschränken haben, sind Ausdrücke von der Form a + bα + cα^{2} + … + kα^{λ−1}, wo λ eine Primzahl ist und wo α eine Wurzel der Gleichung α^{λ} − 1, jedoch nicht gleich Eins ist, und a, b, …, k ganze Zahlen bezeichnen. Setzt man in einer solchen complexen Zahl für α nach der Reihe α^{2}, α^{3}, …, α^{λ−1}, so ist das Product der resultirenden λ−1 Zahlen eine reelle Zahl, welche die Norm jener complexen Zahl genannt wird. Herr Prof. Dirichlet löste nun die Aufgabe, die sämmtlichen complexen Zahlen zu bestimmen, deren Norm gleich Eins ist, und die in diesem System die Rolle von Einheiten spielen; und es zeigte sich der characteristische Unterschied zwischen den Systemen, wo α eine dritte oder vierte Wurzel der Einheit ist, und denen, wo α eine höhere Wurzel bezeichnet als die vierte, daß die Anzahl der Einheiten in den einen endlich, in den andern unendlich groß ist, indem ihre Totalität durch ein Product beliebiger positiver Potenzen einer bestimmten Anzahl von Fundamentaleinheiten ausgedrückt wird.

Herr Professor Kummer beschäftigte sich mit der Zerlegung dieser complexen Zahlen in Factoren, und wies nach, daß jede ganze Zahl, die aus λten Wurzeln der Einheit gebildet ist, wenn der Exponent λ ≤ 19 ist, nur auf eine Weise in einfache Factoren zerlegt werden kann, wenn man von den Einheiten abstrahirt, daß dagegen, wenn λ > 19 ist, die Einführung sogenannter idealer Primfactoren die Stelle der complexen Primzahlen ersetzt, wo diese fehlen. Hieraus ergab sich eine Theorie der Potenzreste, wie bei den complexen Zahlen, welche vorhin betrachtet sind, und man fand durch Induction das Reciprocitätsgesetz für λte Potenzreste zwischen zwei beliebigen idealen complexen Primfactoren, wo nur gewisse Exponenten λ ausgeschlossen waren. Indessen lieferte weder die Kreistheilung noch die versuchten Erweiterungen derselben einen Beweis dieser Gesetze, und soviel mir bekannt ist, mangelt derselbe überhaupt.

Dieser Umstand veranlasste mich, die Methode, durch welche Gauß das Fundamentaltheorem für die quadratischen, Jacobi für die cubischen und biquadratischen Reste verificirt hat, auf die Reste der höheren Potenzen anzuwenden, und wo möglich zu erkennen, wohin diese führt, und weshalb sie den gewünschten Erfolg nicht hat. Es stellte sich dabei heraus, daß diese Methode, wenn man den Exponenten λ ≤ 19 denkt, gerade ausreicht, um in der Theorie der reellen Zahlen die einfachen Moduln von der Form λn + 1 zu bestimmen, für die eine gegebene Primzahl q der Rest einer λten Potenz ist, und da dies Resultat meines Wissens noch nicht ausgesprochen ist, bin ich so frei, dasselbe der hohen Facultät vorzulegen. Die Frage nach der Möglichkeit der unbestimmten Gleichung ist dadurch für reelle ganze Zahlen erschöpft. Denn schon in den disquisitiones arithmeticae ist bewiesen, daß diese Gleichung immer möglich ist, wenn p eine Primzahl bezeichnet, die durch λ getheilt nicht den Rest 1 gibt, und daß, wenn p von der Form λn+1 ist, die Bedingung der Möglichkeit in der Erfüllung der Congruenz q^{\frac{p−1}{2}} ≡ 1 mod p liegt. Es genügt also die Untersuchung der einfachen Divisoren von der Form λn + 1, und der Werthe von q, die Primzahlen sind. Der specielle Fall q = λ ist von Prof. Kummer erledigt.

Um die Relation anzugeben, welche das Criterium für die Möglichkeit der Gleichung x^{λ} = q + py auf eine Congruenz nach dem Modul q reducirt, ist es nöthig, auf den Zusammenhang der reellen Primzahlen und der Primzahlen des entsprechenden complexen Systems hinzuweisen. Man erhält die sämmtlichen complexen Primzahlen, indem man die sämmtlichen reellen Primzahlen in ihre complexen einfachen Factoren zerlegt. Es sei p irgend eine reelle von λ verschiedene Primzahl, und es bezeichne t den kleinsten Exponenten, zu dem erhoben die Primzahl p ≡ 1 mod λ wird, so ist bekanntlich dieser Exponent ein Theiler von λ − 1, und Gauss hat die Bezeichnung eingeführt: p gehört zu dem Exponenten t nach dem Modul λ. Demgemäß zerfällt die Primzahl p in \frac{λ−1}{t} complexe einfache Factoren, und bezeichnet fα einen derselben, so enthält die Reihe fα, fα^{2}, …, fα^{λ−1} jeden derselben t mal, so daß die Norm von fα gleich p^{t} ist. Mithin ist die Norm jeder complexen Primzahl um Eins vermindert gleich der reellen Primzahl, deren Theiler sie ist, zu ihrem Exponenten nach dem Modul λ erhoben, und um Eins vermindert, folglich durch λ theilbar. Die Theorie der λten Potenzreste liefert nun ein Criterium, um zu entscheiden, ob für eine complexe Primzahl fα, deren Norm N sein mag, als Modul eine beliebige durch fα nicht theilbare complexe Zahl Z der Rest einer λten Potenz ist oder nicht.

Dies ist der Rest der Größe Z^{\frac{N−1}{λ}} nach dem Modul fα, der stets einer der Werthe 1, α, α^{2}, …, α^{λ−1} ist, und dann und nur dann = 1 wird, wenn Z λter Potenzrest ist. Es wird dieser Rest dem Legendre’schen Zeichen analog durch das Symbol (\frac{Z}{fα}) angedeutet. Für uns hat dies Symbol ein besonderes Interesse, wenn der Zähler Z eine reelle Zahl, und der Nenner fα der complexe Factor einer reellen Primzahl von der Form λn+1 ist, die zum Exponenten 1 (mod λ) gehört, so daß Nfα = p wird. In diesem besonderen Fall entscheidet dies Symbol auch über die Frage, ob die reelle Zahl Z im gewöhnlichen Zahlensystem λter Potenzrest der Primzahl p ist, deren complexer Primfactor fα.

Um uns der vorhin gebrauchten Bezeichnung anzuschließen, sei q eine Primzahl, deren Verhalten zu einem Modul p von der Form λn + 1 bestimmt werden soll. Es gehöre q zu dem Exponenten τ nach dem Modul λ, und zerfällt daher in \frac{λ−1}{τ} verschiedene Primfactoren φα. Dann liefert die Kreistheilung für das Symbol (q/fα) die Gleichung

∏ (\frac{fα}{φα}) = (\frac{q}{fα}),

wo das Product auf die verschiedenen Factoren von q auszudehnen ist, und fα einer gewissen Bedingung unterworfen wird, um die Einheiten welche es enthalten kann, gehörig einzuschränken. Damit also die Primzahl q λter Potenzrest einer Primzahl p von der Form λn + 1 werde, muß ein Primfactor derselben fα im System der aus λten Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen, der überdies einer einschränkenden Bedingung in Bezug auf seine Form zu genügen hat, gewissen Resten nach den Moduln φα, d.h. gewissen Resten nach dem Product derselben q congruent sein. Denkt man sich die Primzahl fα auf die Form a + bα + … + hα^{λ−2} und die characteristischen Reste auf die Form A + Bα + … + Hα^{λ−2} gebracht, was für jede complexe Zahl nur auf eine Weise möglich ist, so kann die Bedingung, daß

a + bα + … + hα^{λ−2} ≡ A + Bα + … + Hα^{λ−2} (mod q)

sei, nicht anders erfüllt werden, als durch die reellen Congruenzen a ≡ A, b ≡ B, h ≡ H (mod q). Also werden für die ganzen Zahlen a, b, …, h der complexen Primzahl fα = a + bα + … + hα^{λ−2} gewisse Systeme von Resten nach dem Modul q bestimmt, welche bewirken, daß q λter Potenzrest der reellen Primzahl p wird,

Zum Schluß bemerke ich noch, daß obgleich diese Werthsysteme durch die Gleichung

∏ (\frac{fα}{φα})

definirt sind, welche im Nenner der Symbole die verschiedenen complexen Primfactoren von q enthält, man imstande ist, dieselben zu bilden, ohne daß die Zerlegung von q in prime complexe Primfactoren vorausgesetzt wird.