Geometrie und Topologie

Kurzdarstellung der Gebiete

In der Topologie geht es um ein grundlegendes Verständnis geometrischer Formen und stetiger Veränderungen. Mit "geometrischen Formen" meinen wir topologische Räume, Mannigfaltigkeiten oder Zellenkomplexe. Dazwischen hat man stetige oder glatte Abbildungen, je nachdem. Die glatte differenzierbare) Version der Topologie ist die Differentialtopologie. Wenn ein Messen von Bogenlängen, Winkel, Flächeninhalten, Krümmungen u.s.w. hinzukommt, so hat man es mit Geometrie resp. mit Differentialgeometrie zu tun. Untersuchungen von Mannigfaltigkeiten bilden zentrale Punkte der Topologie. Insbesondere haben sie Bedeutungen in anderen Zweigen der Mathematik und in der theoretischen Physik.

In der Algebraischen Topologie werden zu Räumen und zu stetigen Abb. Invarianten konstruiert. Dazu studiert man Funktoren zwischen Kategorien von Räumen und algebraischen Kategorien. Das führt zu Homotopie-, Homologie-, Kohomologie-Theorien, die man i.d.R. einheitlich mit Homotopietheorie über sogenannte Spektren konstruieren kann. Geometrische Theorien, wie singuläre Homologietheorien, Bordismustheorien und K-Theorien sind besonders interessant.

Einteilungen von Mannigfaltigkeiten bis auf Berandungen führen zu Bordismustheorien. Hier haben sich auch Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten (Stratifolds) als nützlich erwiesen. Zusammen mit elliptischen Homologietheorien sind dies aktuelle Forschungsgegenstände. Weiteres Interesse besteht an niedrigdimensionaler Topologie, speziell an Knoten und ihren Invarianten.

Lehrangebot

Anmerkungen zum Lehrangebot

Die Einführung in die Geometrie ist klassische Geometrie und richtet sich in erster Linie an Lehramtsstudenten. Es bestehen Beziehungen zu anderen Gebieten, etwa zur Analysis und zur Algebra. Quereinstiege in die Topologie von solchen Gebieten sind möglich, ohne große Zeitverluste. Das aktuelle Lehrangebot ist jeweils dem Vorlesungsverzeichnis der Fakultäfü jeweilige Semester zu entnehmen.