Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Dr. Rolf Busam Andreas Riedel

Aufbau der Zahlsysteme

Sommersemester 2010

Aufgabenblatt 13 12. Juli 2010

Für eine Primzahl p bezeichne d_{p}(·, ·) (bzw. d_{p}(·, 0) = β_{p}(·)) die in Aufgabe 4 vom vorherigen Blatt definierte Metrik (bzw. Norm).

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei p eine Primzahl.

a) Zeigen Sie, dass die Folge (p^{n})_{n∈ℕ} bzgl. der Metrik d_{p} gegen 0 konvergiert.

b) Zeigen Sie, dass die Folge 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, … sowohl eine p-adisch konvergente als auch eine p-adisch divergente Teilfolge enthält.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei R = ∑_{n=1}^{∞} a_{n} eine Reihe mit a_{n} ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass R bzgl. der p-adischen Norm β_{p} genau dann konvergiert, wenn die Folge der Summanden (a_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge bzgl. der p-adischen Norm β_{p} bilden.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Berechnen Sie d_{p}(a, b), wobei

a) a = 1, b = 26, p = 5,

b) a = 1/9, b = −1/16, p = 5,

c) a = 9!, b = 0, p = 3,

d) a = 2^{2^{N}} /2^{N}, b = 0, p = 2.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Zeigen Sie, dass für die Norm β_{p} auf ℚ gilt: β_{p}(n) ≤ 1 für alle n ∈ ℤ. Man bezeichnet β_{p} damit auch als nicht-archimedische Norm. Zusatz: Sei | · | eine nicht-archimedische Norm auf ℚ. Dann gilt schon |x + y| ≤ max{|x|, |y|}.

         Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/zahlen

Abgabe bis spätestens 19. Juli 2010, in der Vorlesung.