Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Darstellungen von Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Sommersemester 2012

Aufgabenblatt 7 1. Juni 2012

Es gelten die üblichen Voraussetzungen: K ist ein Körper der Charakteristik 0, alle Lie-Algebren bzw. Darstellungen werden als endlich-dimensional vorausgesetzt.

Aufgabe 1. (4 Punkte) Wir wollen einen anderen Beweis für die Existenz der freien Lie-Algebra über einer Menge X geben. Bilden Sie dazu den von X erzeugbaren Vektorraum V und betrachten Sie die Lie-Unteralgebra L der Tensoralgebra T (V), die von V = T^{1}(V) erzeugt wird. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Poincaré-Birkhoff-Witt, dass L die universelle Abbildungseigenschaft der freien Lie-Algebra über X erfüllt.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei L eine der klassischen halbeinfachen Lie-Algebren A_{l} = 𝔰𝔩_{l+1}(K), C_{l} = 𝔰𝔭_{2l}(K), B_{l} = 𝔬_{2l+1}(K), D_{l,(l≥2)} = 𝔬_{2l}(K). Zeigen Sie, dass die Menge der Diagonalmatrizen in L eine maximal torale Unteralgebra bildet.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Bestimmen Sie mit Hilfe von Aufgabe 2 die Wurzeln und die Wurzelräume für die Lie-Algebren A_{l} und C_{l}.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei L halbeinfach und H eine maximal torale Unteralgebra von L.

a) Der Normalisator von H in L ist definiert als N_{L}(H) = {x ∈ L| [xH] ⊂ H}. Zeigen Sie, dass H = N_{L}(H).

b) Sei L = 𝔰𝔩_{2}(K). Zeigen Sie, dass H eindimensional ist.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie2

Abgabe bis spätestens 8. Juni 2012 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.