Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische K-Theorie

Wintersemester 2010/2011

Aufgabenblatt 10 20. Dezember 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei I → CATEX, i ↦ A_{i}, ein Funktor von einer kleinen filtrierten Kategorie in die Kategorie der exakten Kategorie mit exakten Funktoren, sodass alle A_{i} exakte Unterkategorien einer fixierten abelschen Kategorie B sind. Zeigen Sie: A = \underrightarrow{lim} A_{i} ist eine exakte Kategorie und es gilt K_{n}(A) ≅ \underrightarrow{lim} K_{n}(A_{i}).

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei R = \underrightarrow{lim}_{I} R_{i} ein Ring mit Eins. Sei P′(R_{i}) die Kategorie der idempotenten Matrizen über R_{i} und P (R_{i}) wie gewohnt die Kategorie der endlich erzeugbaren projektiven R_{i}-Moduln. Zeigen Sie, dass i ↦ P (R_{i}) im allgemeinen kein Funktor ist, wohl aber i ↦ P′(R_{i}), sowie dass P (R_{i}) bzw. P (R) äquivalent zu P′(R_{i}) bzw. P′(R) = \underrightarrow{lim} P′(R_{i}) ist.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Zeigen Sie die behauptete Bijektion C(ΣX, Y)^{0} ≅ C(X, ΩY)^{0} (C(A, B)^{0} sind die stetigen Abbildungen punktierter Räume A, B, versehen mit der KO-Topologie).

Aufgabe 4. (Kleisli Rektifizierung) (4 Punkte) Wir wollen eine andere Methode betrachten, mit der man allgemeiner das Problem mit Limiten aus Aufgabe 2 umgehen kann. Sei dazu I → CAT ein laxer 2-Funktor (früher auch Pseudo-Funktor genannt), d.h. eine Vorschrift, zu der eine Zuordnung i ↦ A_{i} sowie ein Funktor f_{∗} : A_{i} → A_{j} für jedes i ∈ I bzw. jeden Morphismus f : i → j gehört. Dabei ist gefordert, dass man natürliche Transformationen (id_{i})_{∗} ⇒ id_{A_{i}} bzw. (fg)_{∗} ⇒ f_{∗}g_{∗} hat, die alle kompatibel sind für z.B. (fgh)_{∗} ⇒ f_{∗}g_{∗}h_{∗} bzw. f_{∗} ⇒ f_{∗}. Beispielsweise ist ein Funktor ein laxer 2-Funktor, bei dem jede Transformation die Identität ist. Sei nun ein laxer 2-Funktor I → CATEX (I, CATEX wie in Aufgabe 1) gegeben. Sei A(i) die Kategorie, deren Objekte Paare (A_{j}, f : j → i) mit A_{j} ∈ A_{j} und f eine Abbildung in I ist. Morphismen zwischen (A_{j}, f : j → i) und (A_{k}, g : k → i) sind Paare (h : j → k, θ_{j}), wobei f = gh in I bzw. θ_{j} : h_{∗}(A_{j}) ≅ A_{k} in A_{k} ist. Zeigen Sie, dass A(i) äquivalent zu A_{i} und i ↦ A_{i} ein Funktor ist, d.h. man hat K_{n}A ≅ \underrightarrow{lim} K_{n}(A_{i}).

       Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/k-theorie

Abgabe bis spätestens 10. Januar 2011 vor der Übung.