Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie I

Wintersemester 2008/09

Aufgabenblatt 10 11. Dezember 2008

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei R ein lokaler Ring, 𝔪 sein maximales Ideal. Zeige: Jeder Morphismus von Schemata f : Spec(R) → X faktorisiert über den kanonischen Morphismus j_{x} : Spec(O_{X,x}) → X , wobei x = f(𝔪). Man erhält eine Bijektion

Hom(Spec(R), X) → {(x, φ)| x ∈ X, φ : O_{X,x} → R lokaler Ringhomomorphismus}.

Aufgabe 2. (8 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und A = R[X_{0}, …X_{n}]. Sei A = ⨁_{d=0}^{∞} A_{d} die Zerlegung in homogene Bestandteile. Ist I ein Ideal in A und I_{d} = I ∩ A_{d}, so heisst I homogen, falls I = ⨁_{d=0}^{∞} I_{d} gilt. Wir definieren

X := Proj(A) := {𝔭 ∈ Spec(A)| 𝔭 ist homogenes Primideal in R, 𝔭 ⊉ (X_{0}, …, X_{n})}

und wollen daraus ein Schema basteln, welches dann gleich dem ℙ_{R}^{n} aus der Vorlesung sein soll.

a) Sei I ⊴ A homogen und V_{+}(I) = {𝔭 ∈ X| I ⊆ 𝔭}. Zeige: Durch die Festlegung “V_{+}(I) = abgeschlossene Menge in X” wird eine Topologie auf X definiert. Die Mengen D_{+}(f) = {𝔭 ∈ X| f ∉ 𝔭} = X \ V_{+}((f)) für homogene f ∈ A sind offen und bilden eine Basis dieser Topologie.

b) Für f ∈ A homogen sei

O_{X}(D_{+}(f)) = \{\frac{g}{f^{m}} | g ∈ A, g homogen mit Grad deg g = m deg f, m ≥ 1\} .

Zeige: Durch diese Festlegung erhält man eine Garbe von Ringen O_{X} auf X und (X, O_{X}) ist ein lokal-geringter Raum.

c) Sei U_{j} = D_{+}(X_{j}), j = 0, …, n. Offensichtlich gilt X = ⋃_{j=0}^{n} U_{j}. Sei

A^{j} = R [\frac{X_{0}}{X_{j}}, …, \frac{X_{j−1}}{X_{j}}, \frac{X_{j+1}}{X_{j}}, …, \frac{X_{n}}{X_{j}}].

Zeige: (U_{j}, O_{X}|_{U_{j}}) ≅ (Spec(A^{j}), O_{Spec(A^{j})}), d.h. X ist ein Schema.

d) Zeige: O_{X}(X) = R, d.h. insbesondere ist X affin genau dann, wenn n = 0 (man erinnere sich an die “klassische” Situation, vgl. Satz 1.58 im Skript).

Bemerkung: Eine analoge Konstruktion funktioniert ganz allgemein für einen graduierten Ring A.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Seien k, k′ Körper verschiedener Charakteristik. Seien X ≠ ∅ ein k-Schema und X′ ein k′-Schema. Zeige, dass es keinen Morphismus X → X′ gibt.

Abgabe bis spätestens 18. Dezember 2008, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.